Es sei ${\displaystyle {}f\colon U\rightarrow \mathbb {C} }$, ${\displaystyle {}0\in U\subseteq \mathbb {C} ^{1}}$ offen, eine holomorphe Funktion mit ${\displaystyle {}f(0)=0}$. Zeige, das die folgenden Charakterisierungen einer Zahl ${\displaystyle {}r}$ äquivalent sind.

1. ${\displaystyle {}0}$ ist eine ${\displaystyle {}r}$-fache Nullstelle von ${\displaystyle {}f}$.
2. Es ist ${\displaystyle {}f=x^{r}h}$ mit ${\displaystyle {}h}$ nullstellenfrei im Nullpunkt.
3. Das Jacobiideal zu ${\displaystyle {}f}$ in ${\displaystyle {}{\mathcal {O}}_{1}}$ ist ${\displaystyle {}(x^{r-1})}$.
4. Die Milnorzahl zu ${\displaystyle {}f}$ im Nullpunkt ist ${\displaystyle {}r-1}$.
5. ${\displaystyle {}f}$ ist ${\displaystyle {}r}$-bestimmt, aber nicht ${\displaystyle {}(r-1)}$-bestimmt.