Beschreibe für je zwei (einschließlich dem Fall, dass das Produkt mit sich selbst genommen wird) der folgenden geometrischen Mengen die Produktmengen.

1. Ein Geradenstück ${\displaystyle {}I}$.
2. Eine Kreislinie ${\displaystyle {}K}$.
3. Eine Kreisscheibe ${\displaystyle {}D}$.
4. Eine Parabel ${\displaystyle {}P}$.

Welche Produktmengen lassen sich als eine Teilmenge im Raum realisieren, welche nicht?

Unter dem Produkt der topologischen Räume ${\displaystyle {}X}$ und ${\displaystyle {}Y}$ versteht man die Produktmenge ${\displaystyle {}X\times Y}$ zusammen mit derjenigen Topologie (genannt Produkttopologie), bei der eine Teilmenge ${\displaystyle {}W\subseteq X\times Y}$ genau dann offen ist, wenn man sie als Vereinigung von Produktmengen der Form ${\displaystyle {}U\times V}$ mit offenen Mengen ${\displaystyle {}U\subseteq X}$ und ${\displaystyle {}V\subseteq Y}$ schreiben kann.

Es seien ${\displaystyle {}X}$ und ${\displaystyle {}Y}$ topologische Räume. Zeige, dass die Produkttopologie auf ${\displaystyle {}X\times Y}$ die kleinste Topologie ist, bezüglich der die beiden Projektionen ${\displaystyle {}X\times Y\rightarrow X}$ und ${\displaystyle {}X\times Y\rightarrow Y}$ stetig sind.

Es seien ${\displaystyle {}(M_{1},d_{1})}$ und ${\displaystyle {}(M_{2},d_{2})}$ metrische Räume. Zeige, dass auf der Produktmenge ${\displaystyle {}M_{1}\times M_{2}}$ durch

${\displaystyle d((x_{1},x_{2}),(y_{1},y_{2}))={\sqrt {d_{1}(x_{1},y_{1})^{2}+d_{2}(x_{2},y_{2})^{2}}}}$

eine Metrik gegeben ist, und dass die dadurch definierte Topologie mit der Produkttopologie übereinstimmt.

Es seien ${\displaystyle {}X}$ und ${\displaystyle {}Y}$ diskrete topologische Räume. Zeige, dass auch der Produktraum diskret ist.

Zeige, dass ${\displaystyle {}\mathbb {R} ^{2}\setminus \{0\}}$ diffeomorph zu einem Produkt aus eindimensionalen Mannigfaltigkeiten ist.

Es seien ${\displaystyle {}M_{1}\subseteq N_{1}}$ und ${\displaystyle {}M_{2}\subseteq N_{2}}$ abgeschlossene Untermannigfaltigkeiten. Zeige, dass ihr Produkt ${\displaystyle {}M_{1}\times M_{2}}$ eine abgeschlossene Untermannigfaltigkeit von ${\displaystyle {}N_{1}\times N_{2}}$ ist.

Sei ${\displaystyle {}0<r<R}$ und sei

${\displaystyle T={\left\{(x,y,z)\in \mathbb {R} ^{3}\mid {\left({\sqrt {x^{2}+y^{2}}}-R\right)}^{2}+z^{2}=r^{2}\right\}}.}$

Zeige, dass die Abbildung

${\displaystyle S^{1}\times S^{1}\longrightarrow T,\,(\varphi ,\psi )\longmapsto ((R+r\cos \psi )\cos \varphi ,(R+r\cos \psi )\sin \varphi ,r\sin \psi )}$

eine Bijektion ist.

Es sei ${\displaystyle {}M}$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit. Zeige, dass die Vertauschungsabbildung

${\displaystyle M\times M\longrightarrow M\times M,\,(P,Q)\longmapsto (Q,P),}$

ein Diffeomorphismus ist.

Wir schließen an Bemerkung 18.1 an. Die Hintereinanderschaltung

${\displaystyle V\times W{\stackrel {f\times g}{\longrightarrow }}K\times K{\stackrel {+}{\longrightarrow }}K}$

nennen wir ${\displaystyle {}f\oplus g}$. Zeige

${\displaystyle {}f\oplus g={\left(f\otimes 1\right)}+{\left(1\otimes g\right)}\,.}$

Sei ${\displaystyle {}K}$ ein Körper und seien ${\displaystyle {}I}$ und ${\displaystyle {}J}$ endliche Indexmengen. Zeige, dass die Abbildung

${\displaystyle \operatorname {Abb} \,{\left(I,K\right)}\times \operatorname {Abb} \,{\left(J,K\right)}\longrightarrow \operatorname {Abb} \,{\left(I\times J,K\right)},\,(f,g)\longmapsto f\otimes g,}$

mit

${\displaystyle {}(f\otimes g)(i,j):=f(i)\cdot g(j)\,}$

multilinear ist.

Es sei ${\displaystyle {}K}$ ein Körper und seien ${\displaystyle {}X}$ und ${\displaystyle {}Y}$ endliche Mengen. Zeige, dass man jede Funktion

${\displaystyle h\colon X\times Y\longrightarrow K}$

${\displaystyle {}h=\sum _{i=1}^{n}f_{i}\cdot g_{i}\,}$

${\displaystyle {}f_{i}\colon X\rightarrow K}$ und ${\displaystyle {}g_{i}\colon Y\rightarrow K}$ schreiben kann.

Es sei ${\displaystyle {}K}$ ein Körper. Zeige, dass man nicht jede Funktion

${\displaystyle h\colon \mathbb {N} \times \mathbb {N} \longrightarrow K}$

${\displaystyle {}h=\sum _{i=1}^{n}f_{i}\cdot g_{i}\,}$

${\displaystyle {}f_{i}\colon \mathbb {N} \rightarrow K}$ und ${\displaystyle {}g_{i}\colon \mathbb {N} \rightarrow K}$ schreiben kann.

Zeige, dass man nicht jede stetige Funktion

${\displaystyle h\colon \mathbb {R} \times \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} }$

${\displaystyle {}h=\sum _{i=1}^{n}f_{i}\cdot g_{i}\,}$

${\displaystyle {}f_{i},g_{i}\colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} }$ schreiben kann.

Zeige, dass man die Funktion

${\displaystyle h\colon \mathbb {R} \times \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x,y)\longmapsto {\sqrt {x^{2}+y^{2}}},}$

${\displaystyle {}h=\sum _{i=1}^{n}f_{i}\cdot g_{i}\,}$

${\displaystyle {}f_{i},g_{i}\colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} }$ schreiben kann.

Seien ${\displaystyle {}V}$ und ${\displaystyle {}W}$ affin-algebraische Mengen und sei ${\displaystyle {}x\in V}$ ein Punkt. Beschreibe das Ideal zu ${\displaystyle {}x\times W}$ im Koordinantering zu ${\displaystyle {}V\times W}$.

Seien ${\displaystyle {}V}$ und ${\displaystyle {}W}$ affin-algebraische Mengen, sei ${\displaystyle {}x\in V}$ ein Punkt und sei

${\displaystyle W\longrightarrow V\times W,\,y\longmapsto (x,y).}$

Beschreibe diese Abbildung auf der Ebene der Koordinatenringe.

Es sei ${\displaystyle {}K}$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und seien ${\displaystyle {}V}$ und ${\displaystyle {}W}$ affin-algebraische Mengen über ${\displaystyle {}K}$ der Dimension ${\displaystyle {}r}$ bzw. ${\displaystyle {}s}$. Zeige, dass die Produktvarietät die Dimension ${\displaystyle {}r+s}$ besitzt.

Man gebe ein Beispiel für eine Kurve ${\displaystyle {}C\subseteq {{\mathbb {A} }_{K}^{n}}}$ derart, dass es auf ihr Punkte ${\displaystyle {}P_{1},P_{2},P_{3}\in C}$ gibt, deren Einbettungsdimensionen gleich ${\displaystyle {}1,2,3}$ sind.

Es sei ${\displaystyle {}R}$ der lokale Ring zum Überkreuzungspunkt des dreidimensionalen Achsenkreuzes. Bestimme dessen Einbettungsdimension.

Es sei ${\displaystyle {}R}$ ein noetherscher lokaler Ring und ${\displaystyle {}M}$ ein endlich erzeugter ${\displaystyle {}R}$-Modul mit einer Summenzerlegung ${\displaystyle {}M=M_{1}\oplus M_{2}}$. Zeige, dass für die minimale Erzeugendenzahl die Beziehung

${\displaystyle {}\mu (M)=\mu (M_{1})+\mu (M_{2})\,}$

gilt.

Sei ${\displaystyle {}R}$ ein kommutativer Ring und sei

${\displaystyle 0\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,L\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,M\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,N\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,0}$

eine kurze exakte Sequenz von ${\displaystyle {}R}$-Moduln. Es gebe ein ${\displaystyle {}R}$-Modul-Erzeugendensystem von ${\displaystyle {}L}$ mit ${\displaystyle {}k}$ Elementen und ein ${\displaystyle {}R}$-Modul-Erzeugendensystem von ${\displaystyle {}N}$ mit ${\displaystyle {}n}$ Elementen. Zeige, dass es ein ${\displaystyle {}R}$-Modul-Erzeugendensystem von ${\displaystyle {}M}$ mit ${\displaystyle {}k+n}$ Elementen gibt.

Es sei ${\displaystyle {}R}$ ein noetherscher lokaler Ring. Man gebe ein Beispiel für eine kurze exakte Sequenz

${\displaystyle 0\longrightarrow M_{1}\longrightarrow M\longrightarrow M_{2}\longrightarrow 0}$

von endlich erzeugten ${\displaystyle {}R}$-Moduln derart, dass für die minimale Erzeugendenzahl

${\displaystyle {}\mu (M)\neq \mu (M_{1})+\mu (M_{2})\,}$

gilt.