Es sei ${\displaystyle {}R}$ ein kommutativer Ring, ${\displaystyle {}A}$ eine kommutative ${\displaystyle {}R}$-Algebra, ${\displaystyle {}M}$ ein ${\displaystyle {}R}$-Modul und ${\displaystyle {}D\colon A\rightarrow M}$ eine ${\displaystyle {}R}$-Derivation. Zeige

${\displaystyle {}D{\left(f^{n}\right)}=nf^{n-1}D(f)\,}$

für jedes ${\displaystyle {}f\in A}$.

Es sei ${\displaystyle {}R}$ ein kommutativer Ring, ${\displaystyle {}A}$ eine kommutative ${\displaystyle {}R}$-Algebra, ${\displaystyle {}M}$ ein ${\displaystyle {}R}$-Modul und ${\displaystyle {}D\colon A\rightarrow M}$ eine ${\displaystyle {}R}$-Derivation. Zeige

${\displaystyle {}D{\left(f_{1}\cdots f_{r}\right)}=f_{2}\cdots f_{r}D{\left(f_{1}\right)}+f_{1}f_{3}\cdots f_{r}D{\left(f_{2}\right)}+\cdots +f_{1}\cdots f_{r-1}D{\left(f_{r}\right)}\,}$

für ${\displaystyle {}f_{1},\ldots ,f_{r}\in A}$.

Es sei ${\displaystyle {}R}$ ein kommutativer Ring, ${\displaystyle {}A}$ eine kommutative ${\displaystyle {}R}$-Algebra, ${\displaystyle {}M}$ ein ${\displaystyle {}R}$-Modul und ${\displaystyle {}D\colon A\rightarrow M}$ eine ${\displaystyle {}R}$-Derivation. Es sei ${\displaystyle {}x_{1}^{n_{1}}\cdots x_{r}^{n_{r}}\in A}$. Zeige

${\displaystyle {}D{\left(x_{1}^{n_{1}}\cdots x_{r}^{n_{r}}\right)}=n_{1}x_{1}^{n_{1}-1}x_{2}^{n_{2}}\cdots x_{r-1}^{n_{r-1}}x_{r}^{n_{r}}D{\left(x_{1}\right)}+\cdots +n_{r}x_{1}^{n_{1}}\cdots x_{r-1}^{n_{r-1}}x_{r}^{n_{r}-1}D{\left(x_{r}\right)}\,}$

Es sei ${\displaystyle {}A}$ eine kommutative ${\displaystyle {}R}$-Algebra und ${\displaystyle {}M}$ ein ${\displaystyle {}A}$-Modul. Zeige, dass die Menge der Derivationen von ${\displaystyle {}R}$ nach ${\displaystyle {}M}$ ein ${\displaystyle {}R}$-Modul wird, wenn man ${\displaystyle {}f\delta }$ durch

${\displaystyle {}(f\delta )(a)=f\delta (a)\,}$

definiert.

Es sei ${\displaystyle {}R}$ eine kommutative ${\displaystyle {}K}$-Algebra und ${\displaystyle {}W\subseteq R}$ ein multiplikatives System. Es sei ${\displaystyle {}D\colon R\rightarrow R}$ eine ${\displaystyle {}K}$-Derivation. Zeige, dass durch

${\displaystyle {}D{\left({\frac {f}{g}}\right)}:={\frac {gD(f)-fD(g)}{g^{2}}}\,}$

eine Derivation auf der Nenneraufnahme ${\displaystyle {}R_{W}}$ gegeben ist, die ${\displaystyle {}D}$ fortsetzt.

Es sei ${\displaystyle {}A}$ eine kommutative ${\displaystyle {}R}$-Algebra über einem kommutativen Ring ${\displaystyle {}R}$. Zu ${\displaystyle {}f\in A}$ bezeichne

${\displaystyle \mu _{f}\colon A\longrightarrow A,\,x\longmapsto fx,}$

die ${\displaystyle {}R}$-lineare Multiplikationsabbildung und zu zwei ${\displaystyle {}R}$-linearen Abbildungen

${\displaystyle \varphi _{1},\varphi _{2}\colon A\longrightarrow A}$

bezeichne

${\displaystyle {}[\varphi _{1},\varphi _{2}]=\varphi _{1}\circ \varphi _{2}-\varphi _{2}\circ \varphi _{1}\,.}$

Es sei ${\displaystyle {}\delta \colon A\rightarrow A}$ eine ${\displaystyle {}R}$-Derivation. Zeige, dass zu jedem ${\displaystyle {}g\in A}$ die Abbildung ${\displaystyle {}[\delta ,\mu _{g}]}$ eine Multiplikationsabbildung ist.

Es sei ${\displaystyle {}R}$ ein kommutativer Ring, ${\displaystyle {}A}$ eine kommutative ${\displaystyle {}R}$-Algebra und ${\displaystyle {}\Omega _{A{|}R}}$ der Modul der Kähler-Differentiale. Zeige, dass die universelle Derivation

${\displaystyle A\longrightarrow \Omega _{A{|}R},\,f\longmapsto df,}$

eine Derivation ist.

Bestimme ${\displaystyle {}\Omega _{\mathbb {C} {|}\mathbb {R} }}$.

Es sei ${\displaystyle {}K\subseteq L}$ eine separable endliche Körpererweiterung. Zeige ${\displaystyle {}\Omega _{L{|}K}=0}$.

Bestimme ${\displaystyle {}\Omega _{\mathbb {Z} [{\mathrm {i} }]{|}\mathbb {Z} }}$.