Es sei ${\displaystyle {}R}$ ein kommutativer Ring und

${\displaystyle {}A=R[X_{1},\ldots ,X_{n}]/{\left(X_{n}-f{\left(X_{1},\ldots ,X_{n-1}\right)}\right)}\,}$

mit einem Polynom ${\displaystyle {}f\in R[X_{1},\ldots ,X_{n-1}]}$ (die Nullstellenmenge ist also der Graph zu ${\displaystyle {}f}$). Zeige auf zwei verschiedene Arten, dass ${\displaystyle {}\Omega _{A{|}R}}$ ein freier ${\displaystyle {}A}$-Modul vom Rang ${\displaystyle {}n-1}$ ist.

Berechne ${\displaystyle {}\mathbb {Q} \otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {Z} /(5)}$.

Berechne das Tensorprodukt

${\displaystyle {\left(\mathbb {Z} ^{3}\oplus {\left(\mathbb {Z} /(2)\right)}^{2}\oplus \mathbb {Z} /(3)\right)}\otimes _{\mathbb {Z} }{\left(\mathbb {Z} ^{2}\oplus \mathbb {Z} /(2)\oplus \mathbb {Z} /(4)\right)}.}$

Es sei ${\displaystyle {}R}$ ein kommutativer Ring. Zeige die ${\displaystyle {}R}$-Modulisomorphie

${\displaystyle {}R^{n}\otimes _{R}R^{m}\cong R^{nm}\,.}$

Es sei ${\displaystyle {}R}$ ein kommutativer Ring und ${\displaystyle {}{\mathfrak {a}},{\mathfrak {b}}\subseteq R}$ seien Ideale. Zeige die ${\displaystyle {}R}$-Algebraisomorphie

${\displaystyle {}R/{\mathfrak {a}}\otimes _{R}R/{\mathfrak {b}}=R/{\left({\mathfrak {a}}+{\mathfrak {b}}\right)}\,.}$

Es sei ${\displaystyle {}R}$ ein kommutativer Ring und ${\displaystyle {}S,T\subseteq R}$ seien multiplikative Systeme. Zeige die ${\displaystyle {}R}$-Algebraisomorphie

${\displaystyle {}R_{S}\otimes _{R}R_{T}=R_{S\cdot T}\,.}$

Es seien ${\displaystyle {}M}$ und ${\displaystyle {}N}$ kommutative Monoide und ${\displaystyle {}R}$ ein kommutativer Ring. Zeige die ${\displaystyle {}R}$-Algebraisomorphie

${\displaystyle {}R[M\times N]\cong R[M]\otimes _{R}R[N]\,.}$

Es sei ${\displaystyle {}A}$ ein kommutativer Ring und ${\displaystyle {}S\subseteq A}$ ein multiplikatives System. Zeige

${\displaystyle {}\Omega _{A_{S}{|}A}=0\,.}$

Es sei ${\displaystyle {}R}$ ein kommutativer Ring, ${\displaystyle {}A}$ eine kommutative ${\displaystyle {}R}$-Algebra und ${\displaystyle {}S\subseteq A}$ ein multiplikatives System. Zeige, dass dann

${\displaystyle {}\Omega _{A_{S}{|}R}\cong {\left(\Omega _{A{|}R}\right)}_{S}\,}$

gilt.

Beschreibe für ${\displaystyle {}A=\mathbb {C} [X,Y,Z]/{\left(X^{2}+Y^{3}+Z^{5}\right)}}$ den Modul der Kähler-Differentiale mit Erzeugern und Relationen.

Bestimme ${\displaystyle {}\Omega _{\mathbb {C} {|}\mathbb {R} }}$ mit Hilfe von Korollar 13.2.