Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Eine Isometrie

   ${\displaystyle \varphi \colon V\longrightarrow W}$

   zwischen euklidischen Vektorräumen.

2. Der Grenzwert einer Abbildung

   ${\displaystyle f\colon T\longrightarrow L}$

   in ${\displaystyle {}a\in M}$, wobei ${\displaystyle {}L,M}$ metrische Räume sind, ${\displaystyle {}T\subseteq M}$ eine Teilmenge und ${\displaystyle {}a\in M}$ ein Berührpunkt von ${\displaystyle {}T}$ ist.

3. Ein wegzusammenhängender metrischer Raum ${\displaystyle {}M}$.
4. Die Differenzierbarkeit einer Funktion

   ${\displaystyle f\colon I\longrightarrow V}$

   in einem Punkt ${\displaystyle {}t\in I}$, wobei ${\displaystyle {}I}$ ein Intervall und ${\displaystyle {}V}$ ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum ist.

5. Ein (zeitabhängiges) Vektorfeld auf einer offenen Menge ${\displaystyle {}U\subseteq \mathbb {R} ^{n}}$.
6. Eine Differentialgleichung höherer Ordnung (in einer Variablen).
7. Die Richtungsableitung einer Abbildung

   ${\displaystyle f\colon G\longrightarrow W}$

   in Richtung ${\displaystyle {}v\in V}$, wobei ${\displaystyle {}V,W}$ endlichdimensionale reelle Vektorräume sind mit ${\displaystyle {}G\subseteq V}$ offen und ${\displaystyle {}v\in V}$.

8. Eine Bilinearform ${\displaystyle {}\left\langle -,-\right\rangle }$ auf einem ${\displaystyle {}K}$-Vektorraum ${\displaystyle {}V}$.

Formuliere die folgenden Sätze.

1. Das Folgenkriterium für die Stetigkeit in einem Punkt ${\displaystyle {}x\in L}$ zu einer Abbildung

   ${\displaystyle \varphi \colon L\longrightarrow M}$

   zwischen metrischen Räumen

   ${\displaystyle {}L}$ und ${\displaystyle {}M}$.
2. Der Fundamentalsatz der Algebra.
3. Der Satz über den Zusammenhang zwischen partieller Ableitung und Richtungsableitung.
4. Das Ableitungskriterium für die Lipschitz-Eigenschaft eines Vektorfeldes

   ${\displaystyle f\colon I\times U\longrightarrow \mathbb {R} ^{n}.}$

Es sei ${\displaystyle {}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }}$ eine Folge in einem metrischen Raum ${\displaystyle {}(M,d)}$. Es sei ${\displaystyle {}H}$ die Menge aller Häufungspunkte der Folge und

${\displaystyle A=\{x_{n}:\,n\in \mathbb {N} \}\cup H.}$

Zeige, dass ${\displaystyle {}A}$ eine abgeschlossene Teilmenge von ${\displaystyle {}M}$ ist.

Die folgende Tabelle zeigt eine Auswahl der Gastgeberländer und der Weltmeister der Fußballweltmeisterschaften von 1970 bis 2014.

Jahr	Gastgeber	Weltmeister
${\displaystyle {}1970}$	${\displaystyle {}{\text{Mexiko}}}$	${\displaystyle {}{\text{Brasilien}}}$
${\displaystyle {}1974}$	${\displaystyle {}{\text{Deutschland}}}$	${\displaystyle {}{\text{Deutschland}}}$
${\displaystyle {}1982}$	${\displaystyle {}{\text{Spanien}}}$	${\displaystyle {}{\text{Italien}}}$
${\displaystyle {}1990}$	${\displaystyle {}{\text{Italien}}}$	${\displaystyle {}{\text{Deutschland}}}$
${\displaystyle {}1994}$	${\displaystyle {}{\text{USA}}}$	${\displaystyle {}{\text{Brasilien}}}$
${\displaystyle {}2002}$	${\displaystyle {}{\text{Japan und Korea}}}$	${\displaystyle {}{\text{Brasilien}}}$
${\displaystyle {}2010}$	${\displaystyle {}{\text{Südafrika}}}$	${\displaystyle {}{\text{Spanien}}}$
${\displaystyle {}2014}$	${\displaystyle {}{\text{Brasilien}}}$	${\displaystyle {}{\text{Deutschland}}}$

Es sei ${\displaystyle {}L=\{B,D,I,JuK,M,S,SA,U\}}$ die Menge der Gastgeberländer und

${\displaystyle \varphi \colon L\longrightarrow L}$

die Abbildung, die dem Gastgeberland den Weltmeister zuordnet. Gibt es auf ${\displaystyle {}L}$ eine Metrik derart, dass ${\displaystyle {}L}$ zu einem vollständigen metrischen Raum wird und dass ${\displaystyle {}\varphi }$ eine starke Kontraktion ist?

a) Bestimme den Lösungsraum des linearen Differentialgleichungssystems

${\displaystyle {\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}'={\begin{pmatrix}1&2\\3&5\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}.}$

b) Löse das Anfangswertproblem

${\displaystyle {\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}'={\begin{pmatrix}1&2\\3&5\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}}$

mit der Anfangsbedingung ${\displaystyle {}{\begin{pmatrix}x(0)\\y(0)\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-4\\3\end{pmatrix}}}$.

Beweise die Kettenregel für total differenzierbare Abbildungen ${\displaystyle {}\varphi :V\rightarrow W}$ und ${\displaystyle {}\psi :W\rightarrow U}$, wobei ${\displaystyle {}V,W,U}$ endlichdimensionale ${\displaystyle {}{\mathbb {K} }}$-Vektorräume sind.

Bestimme das Taylor-Polynom zweiter Ordnung der Funktion

${\displaystyle f\colon \mathbb {R} ^{3}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x,y,z)\longmapsto f(x,y,z)=e^{x}yz^{2}-xy,}$

im Punkt ${\displaystyle {}(1,0,-1)}$.

Bestimme die kritischen Punkte der Funktion

${\displaystyle \varphi \colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x,y)\longmapsto (3x^{2}-2xy-y^{2}+5x),}$

und entscheide, ob in diesen kritischen Punkten ein lokales Extremum vorliegt.

Bestimme die lokalen und globalen Extrema der auf der abgeschlossenen Kreisscheibe ${\displaystyle {}B\left(0,1\right)={\left\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\mid x^{2}+y^{2}\leq 1\right\}}}$ definierten Funktion

${\displaystyle f\colon B\left(0,1\right)\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x,y)\longmapsto x^{2}+y^{3}-y^{2}-y.}$

Wir betrachten die Abbildung

${\displaystyle \varphi \colon \mathbb {R} ^{6}\longrightarrow \mathbb {R} ^{4},\,(a,b,c,d,u,v)\longmapsto (au+bv+c+d,ad-bc,ac-b^{2},bd-c^{2}).}$

a) Bestimme die Jacobi-Matrix zu dieser Abbildung.

b) Zeige, dass ${\displaystyle {}\varphi }$ im Nullpunkt nicht regulär ist.

c) Zeige, dass ${\displaystyle {}\varphi }$ in ${\displaystyle {}(1,1,0,0,1,1)}$ regulär ist.

Es sei

${\displaystyle f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} }$

eine Funktion.

a) Realisiere den Graphen von ${\displaystyle {}f}$ als Faser zu einer Abbildung

${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} }$

über ${\displaystyle {}0}$.

b) Sei ${\displaystyle {}f}$ stetig differenzierbar. Zeige, dass die Punkte auf dem Graphen von ${\displaystyle {}f}$ regulär sind.

Wir betrachten das Vektorfeld

${\displaystyle G\colon \mathbb {R} ^{3}\longrightarrow \mathbb {R} ^{3},\,(x,y,z)\longmapsto \left(y-\cos \left(x+z\right),\,x,\,2z-\cos \left(x+z\right)\right).}$

a) Zeige mit Hilfe der Integrabilitätsbedingung, dass ${\displaystyle {}G}$ ein Gradientenfeld ist.

b) Bestimme ein Potential zu ${\displaystyle {}G}$.