Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Der Körper der reellen Zahlen.
2. Der Grad eines Polynoms ${\displaystyle {}P\in K[X]}$, ${\displaystyle {}P\neq 0}$, über einem Körper ${\displaystyle {}K}$.
3. Ein lokales Minimum einer Funktion

   ${\displaystyle f\colon D\longrightarrow \mathbb {R} }$

   (${\displaystyle D\subseteq \mathbb {R} }$ eine Teilmenge) in einem Punkt ${\displaystyle {}x\in D}$.

4. Die Zahl ${\displaystyle {}\pi }$ (gefragt ist nach der analytischen Definition).
5. Die Potenzreihe in ${\displaystyle {}z\in \mathbb {C} }$ zu den Koeffizienten ${\displaystyle {}c_{n}\in \mathbb {C} }$, ${\displaystyle {}n\in \mathbb {N} }$.
6. Die Zeitunabhängigkeit einer gewöhnlichen Differentialgleichung

   ${\displaystyle y'=f(t,y).}$

Formuliere die folgenden Sätze.

1. /Fakt/Name
2. /Fakt/Name
3. /Fakt/Name

Im September besteht die Zeitdifferenz zwischen Deutschland und Chile ${\displaystyle {}6}$ Stunden (in Chile wird es ${\displaystyle {}6}$ Stunden später hell). Anfang Oktober wird in Deutschland die Uhr von der Sommerzeit auf die Winterzeit umgestellt, die Uhr wird also um eine Stunde nachts von ${\displaystyle {}3}$ auf ${\displaystyle {}2}$ zurückgestellt. In der gleichen Nacht wird die Uhr in Chile umgestellt. Wie groß ist die Zeitdifferenz nach der Umstellung?

Es sei ${\displaystyle {}M}$ eine Menge. Wir betrachten die Verknüpfung

${\displaystyle {\mathfrak {P}}\,(M)\times {\mathfrak {P}}\,(M)\longrightarrow {\mathfrak {P}}\,(M),\,(A,B)\longmapsto A\setminus B.}$

Ist diese Verknüpfung assoziativ?

Wir betrachten das kommutative Diagramm

von Mengen und Abbildungen, d.h. es gilt

${\displaystyle {}h\circ \varphi =\psi \circ g\,.}$

Es seien ${\displaystyle {}g}$ und ${\displaystyle {}h}$ bijektiv.

1. Zeige, dass ${\displaystyle {}\varphi }$ genau dann injektiv ist, wenn ${\displaystyle {}\psi }$ injektiv ist.
2. Zeige, dass ${\displaystyle {}\varphi }$ genau dann surjektiv ist, wenn ${\displaystyle {}\psi }$ surjektiv ist.

Berechne

${\displaystyle (x+{\mathrm {i} }y)^{n}.}$

Zeige, dass in einem angeordneten Körper jede konvergente Folge eine Cauchy-Folge ist.

Es sei

${\displaystyle f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} }$

eine stetig differenzierbare Funktion, die mit der Diagonalen zwei Schnittpunkte ${\displaystyle {}P\neq Q}$ besitze. Zeige, dass der Graph der Ableitung ${\displaystyle {}f'}$ einen Schnittpunkt mit der durch ${\displaystyle {}y=1}$ definierten Geraden besitzt.

Bestimme die lokalen und die globalen Extrema der Funktion

${\displaystyle f\colon [-2,5]\longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto f(x)=2x^{3}-5x^{2}+4x-1.}$

Zeige, dass die reelle Exponentialfunktion

${\displaystyle \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto e^{x},}$

keine rationale Funktion ist.

Wir betrachten die Funktion

${\displaystyle f\colon ]0,1[\longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto {\frac {1}{\ln x}}.}$

a) Skizziere ${\displaystyle {}f}$.

b) Bestimme die Ableitung von ${\displaystyle {}f}$.

c) Bestimme die zweite Ableitung von ${\displaystyle {}f}$.

d) Untersuche ${\displaystyle {}f}$ auf Extrema, Monotonieverhalten und Wendepunkte.

Bestimme eine Stammfunktion für die Funktion

${\displaystyle (\ln(1+\sin x))\cdot \sin x.}$

Es sei ${\displaystyle {}f\colon I\rightarrow \mathbb {R} _{+}}$ eine auf einem offenen Intervall definierte Funktion. Wir interessieren uns für den Limes

${\displaystyle \operatorname {lim} _{h\rightarrow 0}\,{\left({\frac {f(x+h)}{f(x)}}\right)}^{\frac {1}{h}}}$

zu einem Punkt ${\displaystyle {}x\in I}$.

1. Bestimme diesen Limes für die Funktion

   ${\displaystyle {}f(x)=a^{x}\,}$

   mit einem ${\displaystyle {}a\in \mathbb {R} _{+}}$.

2. Es sei ${\displaystyle {}f}$ in ${\displaystyle {}x\in I}$ differenzierbar. Zeige

   ${\displaystyle {}\operatorname {lim} _{h\rightarrow 0}\,{\left({\frac {f(x+h)}{f(x)}}\right)}^{\frac {1}{h}}=\exp \left({\frac {f'(x)}{f(x)}}\right)\,}$

3. Überprüfe das Ergebnis aus (1) mit Hilfe der Formel aus (2).