Es sei ${\displaystyle {}f\colon I\rightarrow \mathbb {R} _{+}}$ eine auf einem offenen Intervall definierte Funktion. Wir interessieren uns für den Limes

${\displaystyle \operatorname {lim} _{h\rightarrow 0}\,{\left({\frac {f(x+h)}{f(x)}}\right)}^{\frac {1}{h}}}$

zu einem Punkt ${\displaystyle {}x\in I}$.

1. Bestimme diesen Limes für die Funktion

   ${\displaystyle {}f(x)=a^{x}\,}$

   mit einem ${\displaystyle {}a\in \mathbb {R} _{+}}$.

2. Es sei ${\displaystyle {}f}$ in ${\displaystyle {}x\in I}$ differenzierbar. Zeige

   ${\displaystyle {}\operatorname {lim} _{h\rightarrow 0}\,{\left({\frac {f(x+h)}{f(x)}}\right)}^{\frac {1}{h}}=\exp \left({\frac {f'(x)}{f(x)}}\right)\,}$

3. Überprüfe das Ergebnis aus (1) mit Hilfe der Formel aus (2).