${\displaystyle {}{\left({\frac {a^{x+h}}{a^{x}}}\right)}^{\frac {1}{h}}={\left(a^{x+h}a^{-x}\right)}^{\frac {1}{h}}={\left(a^{x+h-x}\right)}^{\frac {1}{h}}={\left(a^{h}\right)}^{\frac {1}{h}}=a\,.}$

Da dies unabhängig von ${\displaystyle {}h}$ ist, ist auch der Limes für ${\displaystyle {}h\rightarrow 0}$ gleich ${\displaystyle {}a}$.

${\displaystyle {}\ln \left({\left({\frac {f(x+h)}{f(x)}}\right)}^{\frac {1}{h}}\right)={\frac {1}{h}}\ln {\left({\frac {f(x+h)}{f(x)}}\right)}={\frac {1}{h}}{\left(\ln f(x+h)-\ln f(x)\right)}\,.}$

Dies ist der Differenzenquotient zur Funktion ${\displaystyle {}\ln f}$ im Punkt ${\displaystyle {}x}$. Da ${\displaystyle {}f}$ differenzierbar ist, ist auch diese Verknüpfung differenzierbar mit der Ableitung

${\displaystyle {}{\left(\ln f(x)\right)}^{'}={\frac {f'(x)}{f(x)}}\,.}$

Somit ist

${\displaystyle {}\operatorname {lim} _{h\rightarrow 0}\,\ln \left({\left({\frac {f(x+h)}{f(x)}}\right)}^{\frac {1}{h}}\right)={\frac {f'(x)}{f(x)}}\,,}$

und insbesondere existiert der Limes links. Da die Exponentialfunktion stetig ist, folgt daraus

${\displaystyle {}{\begin{aligned}\exp \left({\frac {f'(x)}{f(x)}}\right)&=\exp \left(\operatorname {lim} _{h\rightarrow 0}\,\ln \left({\left({\frac {f(x+h)}{f(x)}}\right)}^{\frac {1}{h}}\right)\right)\\&=\operatorname {lim} _{h\rightarrow 0}\,\exp \left(\ln \left({\left({\frac {f(x+h)}{f(x)}}\right)}^{\frac {1}{h}}\right)\right)\\&=\operatorname {lim} _{h\rightarrow 0}\,{\left({\frac {f(x+h)}{f(x)}}\right)}^{\frac {1}{h}}.\end{aligned}}}$

${\displaystyle {}f(x)=a^{x}\,}$

ist die Ableitung gleich ${\displaystyle {}{\left(\ln \left(a\right)\right)}a^{x}}$. Somit ist

${\displaystyle {}{\frac {f'(x)}{f(x)}}={\frac {{\left(\ln a\right)}a^{x}}{a^{x}}}=\ln a\,,}$

die Exponentialfunktion davon ist in der Tat gleich ${\displaystyle {}a}$.