${\displaystyle {}M}$

${\displaystyle f\colon M\longrightarrow M}$

${\displaystyle {}f}$

${\displaystyle {}w\in \mathbb {R} ^{n}}$

${\displaystyle \alpha \colon J\longrightarrow \mathbb {R} }$

der eindimensionalen Differentialgleichung

${\displaystyle z'=g(t,zw)\cdot z{\text{ mit }}\alpha (t_{0})=1}$

ist

${\displaystyle v(t)=\alpha (t)\cdot w}$

eine Lösung des Anfangswertproblems

${\displaystyle v'=F(t,v){\text{ mit }}v(t_{0})=w.}$

${\displaystyle {}V_{1}}$

${\displaystyle {}V_{2}}$

${\displaystyle {}G\subseteq V_{1}}$

${\displaystyle \varphi \colon G\longrightarrow V_{2}}$

eine stetig differenzierbare Abbildung. Es sei ${\displaystyle {}P\in G}$ ein Punkt derart, dass das totale Differential

${\displaystyle \left(D\varphi \right)_{P}}$

bijektiv ist. Dann gibt es eine offene Menge ${\displaystyle {}U_{1}\subseteq G}$ und eine offene Menge ${\displaystyle {}U_{2}\subseteq V_{2}}$ mit ${\displaystyle {}P\in U_{1}}$ und mit ${\displaystyle {}\varphi (P)\in U_{2}}$ derart, dass ${\displaystyle {}\varphi }$ eine Bijektion

${\displaystyle \varphi {|}_{U_{1}}\colon U_{1}\longrightarrow U_{2}}$

induziert, und dass die Umkehrabbildung

${\displaystyle (\varphi {|}_{U_{1}})^{-1}\colon U_{2}\longrightarrow U_{1}}$

${\displaystyle {}V}$

${\displaystyle {}I\subseteq \mathbb {R} }$

${\displaystyle {}U\subseteq V}$

${\displaystyle f\colon I\times U\longrightarrow V,\,(t,v)\longmapsto f(t,v),}$

ein Vektorfeld auf ${\displaystyle {}U}$. Es sei vorausgesetzt, dass dieses Vektorfeld stetig sei und lokal einer Lipschitz-Bedingung genüge. Dann gibt es zu jedem ${\displaystyle {}(t_{0},w)\in I\times U}$ ein offenes Intervall ${\displaystyle {}J}$ mit ${\displaystyle {}t_{0}\in J\subseteq I}$ derart, dass auf diesem Intervall eine eindeutige Lösung für das Anfangswertproblem

${\displaystyle v'=f(t,v){\text{ und }}v(t_{0})=w}$