Analysis 2/Gemischte Satzabfrage/3/Aufgabe/Lösung

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Folgende Aussagen sind äquivalent.
1. ${}f$ ist stetig in jedem Punkt ${}x\in L$ .
2. Für jeden Punkt ${}x\in L$ und jedes ${}\epsilon >0$ gibt es ein ${}\delta >0$ mit der Eigenschaft, dass aus ${}d(x,x')\leq \delta$ folgt, dass ${}d(f(x),f(x'))\leq \epsilon$ ist.
3. Für jeden Punkt ${}x\in L$ und jede konvergente Folge ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ in ${}L$ mit ${}\lim _{n\rightarrow \infty }x_{n}=x$ ist auch die Bildfolge ${}{\left(f(x_{n})\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ konvergent mit dem Grenzwert ${}f(x)$ .
4. Für jede offene Menge ${}V\subseteq M$ ist auch das Urbild ${}f^{-1}(V)$ offen.
Es sei ${}V$ ein reeller endlichdimensionaler Vektorraum. Es seien zwei Skalarprodukte ${}\left\langle -,-\right\rangle _{1}$ und ${}\left\langle -,-\right\rangle _{2}$ auf ${}V$ gegeben. Dann stimmen die über die zugehörigen Normen ${}\Vert {-}\Vert _{1}$ und ${}\Vert {-}\Vert _{2}$ definierten Topologien überein, d.h. eine Teilmenge ${}U\subseteq V$ ist genau dann offen bezüglich der einen Metrik, wenn sie offen bezüglich der anderen Metrik ist.
Sei ${}G\subseteq {\mathbb {K} }^{n}$ offen und ${}\varphi \colon G\rightarrow {\mathbb {K} }^{m}$ eine Abbildung. Seien ${}x_{i}$ , ${}i=1,\ldots ,n$ , die Koordinaten von ${}{\mathbb {K} }^{n}$ und ${}P\in G$ ein Punkt. Es sei angenommen, dass alle partiellen Ableitungen in einer offenen Umgebung von ${}P$ existieren und in ${}P$ stetig sind. Dann ist ${}\varphi$ in ${}P$ (total) differenzierbar.
Es sei ${}U\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ eine offene Teilmenge und
$h\colon U\longrightarrow \mathbb {R}$

eine differenzierbare Funktion mit dem zugehörigen Gradientenfeld ${}G=\operatorname {Grad} \,h$ . Es sei ${}\gamma \colon [a,b]\rightarrow U$ ein stetig differenzierbarer Weg in ${}U$ . Dann gilt für das Wegintegral

${}\int _{\gamma }G=h(\gamma (b))-h(\gamma (a))\,.$

Zur gelösten Aufgabe

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