Sei ${\displaystyle {}G\subseteq {\mathbb {K} }^{n}}$ offen und sei eine Abbildung ${\displaystyle {}f\colon G\rightarrow {\mathbb {K} }^{m}}$ durch

${\displaystyle {}f(x_{1},\ldots ,x_{n})=(f_{1}(x_{1},\ldots ,x_{n}),\ldots ,f_{m}(x_{1},\ldots ,x_{n}))\,}$

gegeben. Es sei ${\displaystyle {}P=(a_{1},\ldots ,a_{n})\in G}$ ein Punkt. Für fixierte Indizes ${\displaystyle {}i}$ und ${\displaystyle {}j}$ betrachten wir die Abbildung

${\displaystyle I\longrightarrow {\mathbb {K} },\,x_{i}\longmapsto f_{j}(a_{1},\ldots ,a_{i-1},x_{i},a_{i+1},\ldots ,a_{n}),}$

${\displaystyle {}I}$

${\displaystyle {}a_{i}\in I}$ derart sei, dass ${\displaystyle {}\{(a_{1},\ldots ,a_{i-1})\}\times I\times \{(a_{i+1},\ldots ,a_{n})\}\subseteq G}$ gilt) als Funktion in einer Variablen, wobei die übrigen Variablen ${\displaystyle {}a_{k}}$, ${\displaystyle {}k\neq i}$, fixiert seien. Ist diese Funktion in ${\displaystyle {}a_{i}}$ differenzierbar, so heißt ${\displaystyle {}f_{j}}$ partiell differenzierbar in ${\displaystyle {}P}$ bezüglich der Koordinate ${\displaystyle {}x_{i}}$. Man bezeichnet diese Ableitung (welche ein Element in ${\displaystyle {}{\mathbb {K} }}$ ist) mit

${\displaystyle {\frac {\partial f_{j}}{\partial x_{i}}}(P)}$

und nennt sie die ${\displaystyle {}i}$-te partielle Ableitung von ${\displaystyle {}f_{j}}$ in ${\displaystyle {}P}$.

Die Abbildung ${\displaystyle {}f}$ heißt partiell differenzierbar im Punkt ${\displaystyle {}P}$, falls für alle ${\displaystyle {}i}$ und ${\displaystyle {}j}$ die partiellen Ableitungen in ${\displaystyle {}P}$ existieren. Die ${\displaystyle {}i}$-te partielle Ableitung von ${\displaystyle {}f}$ in ${\displaystyle {}P}$ wird mit

${\displaystyle {}{\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}(P):={\left({\frac {\partial f_{1}}{\partial x_{i}}}(P),\ldots ,{\frac {\partial f_{m}}{\partial x_{i}}}(P)\right)}\,}$

bezeichnet.