${\displaystyle {}[a,b]}$

${\displaystyle f\colon [a,b]\longrightarrow \mathbb {R} ^{n}}$

eine stetig differenzierbare Abbildung. Dann ist ${\displaystyle {}f}$ rektifizierbar und für die Kurvenlänge gilt

${\displaystyle {}L(f)=\int _{a}^{b}\Vert {f'(t)}\Vert \,dt\,.}$

${\displaystyle {}\left\langle -,-\right\rangle }$

${\displaystyle {}V}$

${\displaystyle {}v_{1},\ldots ,v_{n}}$

${\displaystyle {}V}$

${\displaystyle {}G}$

${\displaystyle {}\left\langle -,-\right\rangle }$

${\displaystyle {}D_{k}}$

${\displaystyle M_{k}=(\left\langle v_{i},v_{j}\right\rangle )_{1\leq i,j\leq k}}$

seien alle von ${\displaystyle {}0}$ verschieden für ${\displaystyle {}k=1,\ldots ,n}$. Es sei ${\displaystyle {}q}$ die Anzahl der Vorzeichenwechsel in der Folge

${\displaystyle D_{0}=1,\,D_{1}=\det M_{1},\,D_{2}=\det M_{2},\ldots ,D_{n}=\det M_{n}=\det G.}$

Dann ist ${\displaystyle {}\left\langle -,-\right\rangle }$ vom Typ

${\displaystyle {}(n-q,q)}$

${\displaystyle {}G\subseteq V}$

${\displaystyle {}\Vert {\left(D\varphi \right)_{P}}\Vert \leq b\,}$

für alle ${\displaystyle {}P\in G}$. Dann gilt für ${\displaystyle {}P,Q\in G}$ die Abschätzung

${\displaystyle {}\Vert {\varphi (Q)-\varphi (P)}\Vert \leq \Vert {Q-P}\Vert \cdot b\,.}$

${\displaystyle {}U\subseteq \mathbb {R} ^{n}}$

${\displaystyle f\colon U\longrightarrow \mathbb {R} }$

und

${\displaystyle h\colon U\longrightarrow \mathbb {R} }$

stetig differenzierbare Funktionen. Es sei ${\displaystyle {}b\in \mathbb {R} }$ und ${\displaystyle {}M=f^{-1}(b)}$ die Faser von ${\displaystyle {}f}$ über ${\displaystyle {}b}$. Die eingeschränkte Funktion ${\displaystyle {}h{|}_{M}}$ besitze im Punkt ${\displaystyle {}a\in M}$ ein lokales Extremum auf ${\displaystyle {}M}$ und ${\displaystyle {}a}$ sei ein regulärer Punkt von ${\displaystyle {}f}$. Dann ist ${\displaystyle {}\left(Dh\right)_{a}}$ ein Vielfaches von ${\displaystyle {}\left(Df\right)_{a}}$, d.h. es gibt ein ${\displaystyle {}\lambda \in \mathbb {R} }$ mit

${\displaystyle {}\left(Dh\right)_{a}=\lambda \left(Df\right)_{a}\,.}$