${\displaystyle \alpha \colon U\longrightarrow V}$

mit ${\displaystyle {}P\in U}$ und ${\displaystyle {}V\subseteq \mathbb {R} ^{m}}$ und

${\displaystyle \beta \colon U'\longrightarrow W}$

mit ${\displaystyle {}Q\in U'}$ und ${\displaystyle {}W\subseteq \mathbb {R} ^{n}}$ Karten sind, so ist das Diagramm

${\displaystyle {\begin{matrix}T_{p}M&{\stackrel {T_{P}\varphi }{\longrightarrow }}&T_{Q}N&\\\downarrow &&\downarrow &\\\mathbb {R} ^{m}&{\stackrel {\left(D{\left(\beta \circ \varphi \circ \alpha ^{-1}\right)}\right)_{\alpha (P)}}{\longrightarrow }}&\mathbb {R} ^{n}&\!\!\!\!\!\\\end{matrix}}}$

kommutativ, wobei die vertikalen Abbildungen durch die Isomorphismen ${\displaystyle {}[\gamma ]\mapsto (\alpha \circ \gamma )'(0)}$ bzw. ${\displaystyle {}[\gamma ]\mapsto (\beta \circ \gamma )'(0)}$ gegeben sind.

${\displaystyle {}L}$

${\displaystyle {}R\in L}$

${\displaystyle \psi \colon L\longrightarrow M}$

eine weitere differenzierbare Abbildung mit ${\displaystyle {}\psi (R)=P}$ ist, so gilt

${\displaystyle {}T_{R}(\varphi \circ \psi )=T_{P}(\varphi )\circ T_{R}(\psi )\,.}$

${\displaystyle \gamma \colon I\longrightarrow M}$

mit einem offenen Intervall ${\displaystyle {}I\subseteq \mathbb {R} }$, ${\displaystyle {}0\in I}$ und ${\displaystyle {}\gamma (0)=P}$ gilt im Tangentialraum ${\displaystyle {}T_{P}M}$ die Gleichheit

${\displaystyle {}[\gamma ]=(T_{0}(\gamma ))(1)\,.}$