(1). Jeder Tangentialvektor wird repräsentiert durch einen affin-linearen Weg ${\displaystyle {}t\mapsto \gamma (t)=P+tv}$ mit einem Vektor ${\displaystyle {}v\in \mathbb {R} ^{m}}$, so dass wir zwischen diesen Vektoren und den durch sie definierten Tangentialvektoren hin- und herwechseln können. Für den zusammengesetzten Weg ${\displaystyle {}\varphi \circ \gamma }$ gilt nach der Kettenregel

${\displaystyle {}(T_{P}\varphi )([\gamma ])=[\varphi \circ \gamma ]=(\varphi \circ \gamma )'(0)=(D\varphi )_{P}\left({\left(D\gamma \right)}_{0}{\left(1\right)}\right)={\left(D\varphi \right)}_{P}{\left(v\right)}\,.}$

(2). Die Kettenregel angewendet auf (wobei man ${\displaystyle {}I}$ und ${\displaystyle {}V}$ durch kleinere offene Mengen ersetzen muss)

${\displaystyle I{\stackrel {\alpha \circ \gamma }{\longrightarrow }}V{\stackrel {\beta \circ \varphi \circ \alpha ^{-1}}{\longrightarrow }}W}$

liefert

${\displaystyle {}{\left(D\left(\beta \circ \varphi \circ \alpha ^{-1}\right)\right)}_{\alpha (P)}{\left((\alpha \circ \gamma )'(0)\right)}=(\beta \circ (\varphi \circ \gamma ))'(0)\,,}$

was gerade die Kommutativität des Diagramms ist.
(3). Die Aussage folgt aus (2) und der Linearität des totalen Differentials.
(4). Durch Übergang zu Karten folgt dies aus (2) und der Kettenregel.
(5) folgt aus (4) angewendet auf die Umkehrabbildung ${\displaystyle {}\varphi ^{-1}}$.
(6). Das Element ${\displaystyle {}1\in \mathbb {R} }$ ist als Tangentenvektor an einem Punkt ${\displaystyle {}a\in I}$ als der Weg ${\displaystyle {}s\mapsto a+s}$ zu interpretieren. Bei ${\displaystyle {}a=0}$ ist dies der identische Weg. Daher ist

${\displaystyle {}(T_{0}(\gamma ))(1)=(T_{0}(\gamma ))(\operatorname {Id} )=[\gamma \circ \operatorname {Id} ]=[\gamma ]\,.}$