{{ Mathematischer Text/Beweis |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= Es sei ${\displaystyle {}K\subseteq \mathbb {R} ^{n}}$ der Kern des totalen Differentials ${\displaystyle {}\left(D\varphi \right)_{a}}$. Aufgrund der vorausgesetzten Surjektivität und der Dimensionsformel ist dies ein ${\displaystyle {}(n-m)}$-dimensionaler Untervektorraum von ${\displaystyle {}\mathbb {R} ^{n}}$. Durch einen Basiswechsel können wir annehmen, dass ${\displaystyle {}K}$ von den ersten ${\displaystyle {}n-m}$ Standardvektoren ${\displaystyle {}e_{1},\ldots ,e_{n-m}}$ erzeugt ist (Der Unterraum ${\displaystyle {}\langle e_{n-m+1},\ldots ,e_{n}\rangle }$ wird dann bijektiv auf ${\displaystyle {}\mathbb {R} ^{m}}$ abgebildet). Es sei

${\displaystyle p\colon \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R} ^{n-m}=K,\,(x_{1},\ldots ,x_{n})\longmapsto (x_{1},\ldots ,x_{n-m})}$

die lineare Projektion auf ${\displaystyle {}K}$ und es sei

${\displaystyle p\times \varphi \colon G\longrightarrow \mathbb {R} ^{n-m}\times \mathbb {R} ^{m},\,(x_{1},\ldots ,x_{n})\longmapsto (x_{1},\ldots ,x_{n-m},\varphi _{1}(x_{1},\ldots ,x_{n}),\ldots ,\varphi _{m}(x_{1},\ldots ,x_{n})),}$

die zusammengesetzte Abbildung. Diese ist selbst stetig differenzierbar und das totale Differential davon im Punkt ${\displaystyle {}a=(a_{1},\ldots ,a_{n})}$ ist bijektiv, so dass wir darauf den Satz über die Umkehrabbildung anwenden können. Es gibt also offene Umgebungen ${\displaystyle {}a\in U_{1}}$, ${\displaystyle {}U_{1}\subseteq G}$, und ${\displaystyle {}(p(a),\varphi (a))\in U_{2}}$, ${\displaystyle {}U_{2}\subseteq \mathbb {R} ^{n-m}\times \mathbb {R} ^{m}}$, derart, dass die eingeschränkte Abbildung {{ Ma:abb/disp |name= (p \times \varphi) {{|}}_{ U_1 } | | U_2 || |SZ= }} bijektiv ist mit stetig differenzierbarer Umkehrabbildung. Für die offene Menge ${\displaystyle {}U_{2}}$ gibt es offene Mengen

${\displaystyle (a_{1},\ldots ,a_{n-m})\in V\subseteq \mathbb {R} ^{n-m}\,\,{\text{ und }}\,\,\varphi (a)=(b_{1},\ldots ,b_{m})\in V'\subseteq \mathbb {R} ^{m}}$

mit ${\displaystyle {}V\times V'\subseteq U_{2}}$. Wir können den Diffeomorphismus {{mathl|term=(p \times \varphi) {{|}}_{ U_1 } |SZ=}} auf das (offene) Urbild ${\displaystyle {}W}$ von ${\displaystyle {}V\times V'}$ einschränken. Wir betrachten das kommutative Diagramm

${\displaystyle {\begin{matrix}G&{\stackrel {}{\longrightarrow }}&\mathbb {R} ^{n-m}\times \mathbb {R} ^{m}&\\&\searrow &\downarrow &\\&&\mathbb {R} ^{m}&\!\!\!\!\!\!\!\!\\\end{matrix}}}$

bzw. die Einschränkung davon

${\displaystyle {\begin{matrix}W&{\stackrel {}{\longrightarrow }}&V\times V'&\\&\searrow &\downarrow &\\&&V'&\!\!\!\!\!\!\!\!.\\\end{matrix}}}$

Die Faser über ${\displaystyle {}b=\varphi (a)}$ ist ${\displaystyle {}V\times \{(b_{1},\ldots ,b_{m})\}}$. Diese Menge steht über die horizontale Abbildung ${\displaystyle {}p\times \varphi }$ in Bijektion mit der Faser von ${\displaystyle {}\varphi }$ über ${\displaystyle {}b}$, also mit ${\displaystyle {}Z\cap W}$.
Wir betrachten nun die Abbildung

${\displaystyle \psi \colon V\longrightarrow W,\,(x_{1},\ldots ,x_{n-m})\longmapsto (p\times \varphi )^{-1}(x_{1},\ldots ,x_{n-m},b_{1},\ldots ,b_{m}).}$

Es ist

${\displaystyle {}{\begin{aligned}\varphi (\psi (x_{1},\ldots ,x_{n-m}))&=\varphi ((p\times \varphi )^{-1}(x_{1},\ldots ,x_{n-m},b_{1},\ldots ,b_{m}))\\&=(b_{1},\ldots ,b_{m}),\end{aligned}}}$

so dass das Bild von ${\displaystyle {}\psi }$ in der Tat in ${\displaystyle {}Z\cap W}$ landet. Die Injektivität von ${\displaystyle {}\psi }$ ist klar. Sei nun ${\displaystyle {}(x_{1},\ldots ,x_{n})\in Z\cap W}$. Dann ist

${\displaystyle {}\varphi (x_{1},\ldots ,x_{n})=(b_{1},\ldots ,b_{m})\,}$

und daher ist

${\displaystyle {}(p\times \varphi )(x_{1},\ldots ,x_{n})=(x_{1},\ldots ,x_{n-m},b_{1},\ldots ,b_{m})\,.}$

Also ist

${\displaystyle {}\psi (x_{1},\ldots ,x_{n-m})=(x_{1},\ldots ,x_{n})\,}$

im Bild von ${\displaystyle {}\psi }$.
Die Abbildung

${\displaystyle \psi \colon V\longrightarrow W}$

ist nach Konstruktion stetig differenzierbar und das totale Differential ist in jedem Punkt ${\displaystyle {}Q\in V}$ injektiv, da ${\displaystyle {}\psi }$ die Hintereinanderschaltung einer affin-linearen Injektion und eines Diffeomorphismus ist. Da ${\displaystyle {}\psi (V)}$ in der Faser von ${\displaystyle {}\varphi }$ über ${\displaystyle {}b}$ liegt, ist ${\displaystyle {}\varphi \circ \psi =b}$ konstant. Nach der Kettenregel ist

${\displaystyle {}\left(D\varphi \right)_{\psi (Q)}\circ \left(D\psi \right)_{Q}=0\,.}$

}} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Faktname= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }}