Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Eine endliche Körpererweiterung ${\displaystyle {}K\subseteq L}$.
2. Ein Normalteiler ${\displaystyle {}N}$ in einer Gruppe ${\displaystyle {}G}$.
3. Eine Radikalerweiterung (von Körpern).
4. Die Charaktergruppe zu einer kommutativen Gruppe ${\displaystyle {}D}$ mit Werten in einem Körper ${\displaystyle {}K}$.
5. Die Konjugationsklassen auf einer Gruppe ${\displaystyle {}G}$.
6. Algebraisch unabhängige Elemente ${\displaystyle {}f_{1},\ldots ,f_{n}\in A}$ in einer ${\displaystyle {}R}$-Algebra ${\displaystyle {}A}$.

Formuliere die folgenden Sätze.

1. Der Satz über die Beziehung zwischen prim und irreduzibel in einem Integritätsbereich ${\displaystyle {}R}$.
2. Der Satz über die Anzahl eines endlichen Körpers.
3. Der Satz über die Charakterisierung von konstruierbaren n-Ecken.

Sei ${\displaystyle {}K}$ ein algebraisch abgeschlossener Körper. Zeige, dass ${\displaystyle {}K}$ nicht endlich sein kann.

Es sei ${\displaystyle {}R}$ ein kommutativer Ring und ${\displaystyle {}f\in R}$. Charakterisiere mit Hilfe der Multiplikationsabbildung

${\displaystyle \mu _{f}\colon R\longrightarrow R,\,g\longmapsto fg,}$

wann ${\displaystyle {}f}$ ein Nichtnullteiler und wann ${\displaystyle {}f}$ eine Einheit ist.

Beweise den Satz, dass das Minimalpolynom zu einem algebraischen Element ${\displaystyle {}f\in L}$ in einer Körpererweiterung ${\displaystyle {}K\subseteq L}$ irreduzibel ist.

Es sei ${\displaystyle {}M}$ die Menge aller Zwischenkörper zwischen ${\displaystyle {}\mathbb {Q} }$ und ${\displaystyle {}\mathbb {C} }$. Für Körper ${\displaystyle {}K_{1},K_{2}\in M}$ setzen wir ${\displaystyle {}K_{1}\sim K_{2}}$, falls es einen Körper ${\displaystyle {}L\in M}$ mit ${\displaystyle {}K_{1}\subseteq L}$ und ${\displaystyle {}K_{2}\subseteq L}$ endlich gibt.

1. Zeige, dass ${\displaystyle {}\sim }$ eine Äquivalenzrelation ist.
2. Ist ${\displaystyle {}\mathbb {R} \sim \mathbb {C} }$?
3. Ist ${\displaystyle {}\mathbb {Q} \sim \mathbb {C} }$?

Bestimme das Minimalpolynom von

${\displaystyle {\frac {X^{3}-{\left(2X^{4}-X\right)}{\mathrm {i} }}{X^{3}-1+X^{2}{\mathrm {i} }}}\in \mathbb {C} (X)}$

über ${\displaystyle {}\mathbb {R} (X)}$.

Zeige, dass der algebraische Abschluss einer Körpererweiterung ein Körper ist.

Bestimme die Matrix des Frobeniushomomorphismus

${\displaystyle \Phi \colon {\mathbb {F} }_{27}\longrightarrow {\mathbb {F} }_{27}}$

bezüglich einer geeigneten ${\displaystyle {}{\mathbb {F} }_{3}}$-Basis von ${\displaystyle {}{\mathbb {F} }_{27}}$.

Sei ${\displaystyle {}n\in \mathbb {N} _{\geq 3}}$ und sei ${\displaystyle {}\alpha ={\frac {360^{\circ }}{n}}}$. Betrachte die im Ring der reellen ${\displaystyle {}2\times 2}$-Matrizen von den Matrizen ${\displaystyle {}{\begin{pmatrix}\cos k\alpha &-\sin k\alpha \\\sin k\alpha &\cos k\alpha \end{pmatrix}}}$, ${\displaystyle {}k=0,1,\ldots ,n-1}$,

${\displaystyle {}\mathbb {Q} }$

${\displaystyle {}A}$

1. Mit wie vielen Matrizen kann man ${\displaystyle {}A}$ minimal erzeugen?
2. Ist diese Algebra kommutativ?
3. Ist diese Algebra ein Körper?
4. Ist diese Algebra ein endlichdimensionaler ${\displaystyle {}\mathbb {Q} }$-Vektorraum? Falls ja, was ist seine Dimension?

Beweise den Satz über die Beschreibung der Galoisgruppe von Kreisteilungskörpern über ${\displaystyle {}\mathbb {Q} }$.

Zeige, dass man aus ${\displaystyle {}\mathbb {R} \setminus \mathbb {Q} }$ als Startmenge den gesamten ${\displaystyle {}\mathbb {R} ^{2}}$ mit Zirkel und Lineal konstruieren kann.

Das Polynom ${\displaystyle {}Z^{3}-X^{3}-Y^{3}\in \mathbb {C} (X,Y)[Z]}$ ist irreduzibel und definiert daher eine endliche Körpererweiterung

${\displaystyle {}\mathbb {C} (X,Y)\subseteq \mathbb {C} (X,Y)[Z]/{\left(Z^{3}-X^{3}-Y^{3}\right)}=:L\,}$

vom Grad ${\displaystyle {}3}$. Es sei ${\displaystyle {}\zeta }$ eine primitive dritte komplexe Einheitswurzel und es sei ${\displaystyle {}G=\{1,\zeta ,\zeta ^{2}\}}$ die Gruppe der komplexen dritten Einheitswurzeln.

1. Zeige, dass durch

   ${\displaystyle X\mapsto X,\,Y\mapsto Y,\,Z\mapsto \zeta Z}$

   ein ${\displaystyle {}\mathbb {C} (X,Y)}$-Automorphismus auf ${\displaystyle {}L}$ gegeben ist.

2. Zeige, dass ${\displaystyle {}\mathbb {C} (X,Y)\subseteq L}$ eine Galoiserweiterung ist.
3. Zeige, dass ${\displaystyle {}\mathbb {C} (X,Y)\subseteq L}$ eine graduierte Körpererweiterung ist.
4. Zeige, dass durch

   ${\displaystyle X\mapsto \zeta X,\,Y\mapsto \zeta Y,\,Z\mapsto \zeta ^{2}Z}$

   ein ${\displaystyle {}\mathbb {C} }$-Automorphismus auf ${\displaystyle {}L}$ der Ordnung ${\displaystyle {}3}$ gegeben ist.

5. Zeige, dass der Fixkörper zum Automorphismus aus (4) isomorph zum rationalen Funktionenkörper in zwei Variablen ist.