Sei ${\displaystyle {}n\in \mathbb {N} _{\geq 3}}$ und sei ${\displaystyle {}\alpha ={\frac {360^{\circ }}{n}}}$. Betrachte die im Ring der reellen ${\displaystyle {}2\times 2}$-Matrizen von den Matrizen ${\displaystyle {}{\begin{pmatrix}\cos k\alpha &-\sin k\alpha \\\sin k\alpha &\cos k\alpha \end{pmatrix}}}$, ${\displaystyle {}k=0,1,\ldots ,n-1}$,

${\displaystyle {}\mathbb {Q} }$

${\displaystyle {}A}$

1. Mit wie vielen Matrizen kann man ${\displaystyle {}A}$ minimal erzeugen?
2. Ist diese Algebra kommutativ?
3. Ist diese Algebra ein Körper?
4. Ist diese Algebra ein endlichdimensionaler ${\displaystyle {}\mathbb {Q} }$-Vektorraum? Falls ja, was ist seine Dimension?