${\displaystyle {}k=1}$

${\displaystyle {\begin{pmatrix}\cos \alpha &-\sin \alpha \\\sin \alpha &\cos \alpha \end{pmatrix}},}$

da ja

${\displaystyle {}{\begin{pmatrix}\cos k\alpha &-\sin k\alpha \\\sin k\alpha &\cos k\alpha \end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\cos \alpha &-\sin \alpha \\\sin \alpha &\cos \alpha \end{pmatrix}}^{k}\,}$

ist. Wegen ${\displaystyle {}n\geq 3}$ kann man auf diese nicht verzichten.

${\displaystyle {}K_{n}}$

${\displaystyle {}n}$

${\displaystyle {}\mathbb {Q} }$

${\displaystyle {}e^{2\pi {\mathrm {i} }/n}=\cos 360^{\circ }/n+{\mathrm {i} }\sin 360^{\circ }/n=\cos \alpha +{\mathrm {i} }\sin \alpha \,}$

erzeugt wird. Wir betrachten die surjektive Abbildung

${\displaystyle K_{n}\longrightarrow A,}$

die durch ${\displaystyle {}e^{2\pi {\mathrm {i} }/n}\mapsto {\begin{pmatrix}\cos \alpha &-\sin \alpha \\\sin \alpha &\cos \alpha \end{pmatrix}}}$ gegeben ist. Diese ist wohldefiniert und bijektiv, da eine Summe

${\displaystyle \sum _{i=0}^{n-1}a_{i}{\begin{pmatrix}\cos \alpha &-\sin \alpha \\\sin \alpha &\cos \alpha \end{pmatrix}}^{i}}$

genau dann ${\displaystyle {}0}$ ist, wenn dies in der ersten Spalte gilt. Somit liegt ein ${\displaystyle {}\mathbb {Q} }$-Algebraautomorphismus vor und alle Eigenschaften übertragen sich vom Kreisteilungskörper. Insbesondere ist die Algebra kommutativ