Das Polynom ${\displaystyle {}Z^{3}-X^{3}-Y^{3}\in \mathbb {C} (X,Y)[Z]}$ ist irreduzibel und definiert daher eine endliche Körpererweiterung

${\displaystyle {}\mathbb {C} (X,Y)\subseteq \mathbb {C} (X,Y)[Z]/{\left(Z^{3}-X^{3}-Y^{3}\right)}=:L\,}$

vom Grad ${\displaystyle {}3}$. Es sei ${\displaystyle {}\zeta }$ eine primitive dritte komplexe Einheitswurzel und es sei ${\displaystyle {}G=\{1,\zeta ,\zeta ^{2}\}}$ die Gruppe der komplexen dritten Einheitswurzeln.

1. Zeige, dass durch

   ${\displaystyle X\mapsto X,\,Y\mapsto Y,\,Z\mapsto \zeta Z}$

   ein ${\displaystyle {}\mathbb {C} (X,Y)}$-Automorphismus auf ${\displaystyle {}L}$ gegeben ist.

2. Zeige, dass ${\displaystyle {}\mathbb {C} (X,Y)\subseteq L}$ eine Galoiserweiterung ist.
3. Zeige, dass ${\displaystyle {}\mathbb {C} (X,Y)\subseteq L}$ eine graduierte Körpererweiterung ist.
4. Zeige, dass durch

   ${\displaystyle X\mapsto \zeta X,\,Y\mapsto \zeta Y,\,Z\mapsto \zeta ^{2}Z}$

   ein ${\displaystyle {}\mathbb {C} }$-Automorphismus auf ${\displaystyle {}L}$ der Ordnung ${\displaystyle {}3}$ gegeben ist.

5. Zeige, dass der Fixkörper zum Automorphismus aus (4) isomorph zum rationalen Funktionenkörper in zwei Variablen ist.