${\displaystyle {}\mathbb {C} (X,Y)}$

${\displaystyle \alpha \colon \mathbb {C} (X,Y)[Z]\longrightarrow \mathbb {C} (X,Y)[Z]/{\left(Z^{3}-X^{3}-Y^{3}\right)},\,Z\longmapsto \zeta Z.}$

Dieser ist offenbar surjektiv und sendet ${\displaystyle {}Z^{3}}$ auf ${\displaystyle {}\zeta ^{3}Z^{3}=Z^{3}}$, daher wird das Ideal ${\displaystyle {}{\left(Z^{3}-X^{3}-Y^{3}\right)}}$ auf ${\displaystyle {}0}$ abgeildet und es wird ein Automorphismus

${\displaystyle \mathbb {C} (X,Y)[Z]/{\left(Z^{3}-X^{3}-Y^{3}\right)}\longrightarrow \mathbb {C} (X,Y)[Z]/{\left(Z^{3}-X^{3}-Y^{3}\right)}}$

induziert.

${\displaystyle {}\mathbb {C} (X,Y)}$

${\displaystyle {}\mathbb {C} (X,Y)}$

${\displaystyle {}L}$

${\displaystyle {}L=\mathbb {C} (X,Y)\oplus \mathbb {C} (X,Y)Z\oplus \mathbb {C} (X,Y)Z^{2}\,.}$

Der erzeugende Automorphismus respektiert diese Zerlegung, und daher ist ${\displaystyle {}\mathbb {C} (X,Y)}$ der Fixkörper. Über dem Fixkörper zu einer endlichen Gruppe liegt aber stets eine Galoiserweiterung vor.

${\displaystyle {}\mathbb {Z} /(3)}$

${\displaystyle {}Z^{3}=X^{3}+Y^{3}\in \mathbb {C} (X,Y)\,}$

ist diese Graduierung in der Tat mit der Multiplikation verträglich.

${\displaystyle {}X\mapsto \zeta X}$

${\displaystyle {}Y\mapsto \zeta Y}$

${\displaystyle {}\mathbb {C} }$

${\displaystyle \mathbb {C} [X,Y]\longrightarrow \mathbb {C} [X,Y]}$

und damit auch auf dem Quotientenkörper

${\displaystyle \mathbb {C} (X,Y)\longrightarrow \mathbb {C} (X,Y)}$

festgelegt. Durch ${\displaystyle {}Z\mapsto \zeta ^{2}Z}$ wird sodann ein ${\displaystyle {}\mathbb {C} }$-Algebramorphismus

${\displaystyle \mathbb {C} (X,Y)[Z]\longrightarrow \mathbb {C} (X,Y)[Z]/{\left(Z^{3}-X^{3}-Y^{3}\right)}}$

festgelegt, der seinerseits wieder zu einem Automorphismus

${\displaystyle \mathbb {C} (X,Y)[Z]/{\left(Z^{3}-X^{3}-Y^{3}\right)}\longrightarrow \mathbb {C} (X,Y)[Z]/{\left(Z^{3}-X^{3}-Y^{3}\right)}}$

führt. Die dritte Iteration davon ist durch ${\displaystyle {}X\mapsto \zeta ^{3}X=X}$, ${\displaystyle {}Y\mapsto \zeta ^{3}Y=Y}$, ${\displaystyle {}Z\mapsto \zeta ^{6}Z=Z}$, bestimmt, also die Identität. Somit ist die Ordnung ${\displaystyle {}3}$.

${\displaystyle {}{\frac {X}{Y}}}$

${\displaystyle {}{\frac {Z^{2}}{Y}}}$

${\displaystyle {}M=\mathbb {C} {\left({\frac {X}{Y}},{\frac {Z^{2}}{Y}}\right)}\,.}$

Zunächst gehört

${\displaystyle {}{\left({\frac {Z}{Y}}\right)}^{3}={\left({\frac {X}{Y}}\right)}^{3}+1\,}$

zu ${\displaystyle {}M}$. Ferner gehört auch

${\displaystyle {}{\frac {Z}{Y^{2}}}={\frac {Z^{3}}{Y^{3}}}\cdot {\frac {Y}{Z^{2}}}\,}$

dazu. Damit gehört auch

${\displaystyle {}YZ={\frac {Z^{2}}{Y}}\cdot {\frac {Y^{2}}{Z}}\,}$

dazu. Also gehört auch

${\displaystyle {}Z^{3}=YZ\cdot {\frac {Z^{2}}{Y}}\,}$

und damit auch ${\displaystyle {}Y^{3}}$ und ${\displaystyle {}X^{3}}$ dazu. Damit ist

${\displaystyle {}M\subseteq \mathbb {C} (X,Y)[Z]/{\left(Z^{3}-X^{3}-Y^{3}\right)}\,}$

endlich und insbesondere sind die beiden Erzeuger ${\displaystyle {}{\frac {X}{Y}}}$ und ${\displaystyle {}{\frac {Z^{2}}{Y}}}$ algebraisch unabhängig und ${\displaystyle {}M}$ ist ein rationaler Funktionenkörper in zwei Variablen. Wir behaupten, dass ${\displaystyle {}L}$ über ${\displaystyle {}M}$ von ${\displaystyle {}X}$ erzeugt wird. Zu

${\displaystyle M[X]}$

gehört aber direkt auch ${\displaystyle {}Y}$ und ${\displaystyle {}Z^{2}}$ und wegen ${\displaystyle {}Z^{3}\in M}$ gehört auch ${\displaystyle {}Z}$ dazu. Also ist

${\displaystyle {}M[X]=L\,}$

und es liegt die entsprechende Situation zu (2), (3) vor. Insbesondere ist ${\displaystyle {}M}$ der Fixkörper.