Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Die Abstandsfunktion auf einem reellen Vektorraum ${\displaystyle {}V}$ mit einem Skalarprodukt ${\displaystyle {}\left\langle -,-\right\rangle }$.
2. Ein Berührpunkt zu einer Teilmenge ${\displaystyle {}T\subseteq M}$ eines metrischen Raumes ${\displaystyle {}M}$.
3. Die Vollständigkeit eines metrischen Raumes ${\displaystyle {}M}$.
4. Ein Zentralfeld

   ${\displaystyle F\colon \mathbb {R} \times V\longrightarrow V}$

   auf einem reellen endlichdimensionalen Vektorraum ${\displaystyle {}V}$.

5. Ein homogenes lineares gewöhnliches Differentialgleichungssystem mit konstanten Koeffizienten (über ${\displaystyle {}\mathbb {C} }$).
6. Der Typ einer symmetrischen Bilinearform ${\displaystyle {}\left\langle -,-\right\rangle }$ auf einem endlichdimensionalen reellen Vektorraum ${\displaystyle {}V}$.
7. Die Eigenschaft eines Vektorfeldes, einer Lipschitz-Bedingung zu genügen.
8. Eine sternförmige Teilmenge ${\displaystyle {}T\subseteq \mathbb {R} ^{n}}$.

Formuliere die folgenden Sätze.

1. Das Vergleichskriterium für eine fallende Funktion

   ${\displaystyle [0,+\infty [\longrightarrow \mathbb {R} _{\geq 0}.}$

2. Der Satz über das Wegintegral bei Umparametrisierung.
3. Der Satz über totale Differenzierbarkeit und Richtungsableitungen.
4. Der Satz über die Vollständigkeit von Abbildungsräumen.

a) Sei

${\displaystyle f\colon \mathbb {R} _{\geq 0}\longrightarrow \mathbb {R} _{\geq 0}}$

eine monoton fallende stetige Funktion. Es sei vorausgesetzt, dass das uneigentliche Integral

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }f(t)\,dt}$

existiert. Zeige, dass

${\displaystyle \operatorname {lim} _{t\rightarrow \infty }\,f(t)=0}$

ist.

b) Man zeige durch ein Beispiel, dass die Aussage in a) für eine stetige, nicht monoton fallende Funktion nicht gelten muss.

Sei ${\displaystyle {}(M,d)}$ ein metrischer Raum. Zeige, dass jede endliche Teilmenge ${\displaystyle {}T\subseteq M}$ abgeschlossen ist.

Es sei

${\displaystyle \gamma \colon [a,b]\longrightarrow \mathbb {R} ^{n}}$

eine stetig differenzierbare Kurve und sei

${\displaystyle \varphi \colon \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R} ^{n}}$

eine lineare Isometrie. Beweise die Längengleichheit

${\displaystyle {}L(\gamma )=L(\varphi \circ \gamma )\,.}$

Sei

${\displaystyle \gamma \colon [-1,1]\longrightarrow \mathbb {R} ^{3},\,t\longmapsto {\left(t^{2},-t^{2}+1,t\right)},}$

gegeben. Berechne das Wegintegral längs dieses Weges zum Vektorfeld

${\displaystyle {}F(x,y,z)={\left(y^{2}-xz,xyz,5x^{2}z-yz\right)}\,.}$

Wir betrachten das lineare Differentialgleichungssystem

${\displaystyle {}{\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}'={\begin{pmatrix}0&1&0\\0&0&1\\0&0&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}\,.}$

Zeige, dass die Lösung des zugehörigen Anfangswertproblems mit der Anfangsbedingung

${\displaystyle {}v(0)={\begin{pmatrix}a\\b\\c\end{pmatrix}}\,}$

durch

${\displaystyle {}v(t)={\begin{pmatrix}a+tb+{\frac {1}{2}}t^{2}c\\b+tc\\c\end{pmatrix}}\,}$

gegeben ist.

Skizziere die Funktion

${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x,y)\longmapsto x^{2}+y.}$

Wir betrachten die Funktion

${\displaystyle f\colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} }$

mit

${\displaystyle {}f(x,y):={\begin{cases}{\frac {x^{3}}{x^{2}+y^{2}}}{\text{ für }}(x,y)\neq (0,0)\,,\\0{\text{ für }}(x,y)=(0,0)\,.\end{cases}}\,}$

a) Zeige, dass ${\displaystyle {}f}$ stetig ist.

b) Zeige, dass die Einschränkung von ${\displaystyle {}f}$ auf jede Gerade durch den Nullpunkt eine lineare Abbildung ist.

c) Zeige, dass zu ${\displaystyle {}f}$ im Nullpunkt in jede Richtung die Richtungsableitung existiert.

d) Zeige, dass ${\displaystyle {}f}$ im Nullpunkt nicht total differenzierbar ist.

Bestätige die Kettenregel für ${\displaystyle {}g\circ f}$ für die beiden differenzierbaren Abbildungen

${\displaystyle f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,t\longmapsto (t^{3}-t,-t^{2}),}$

${\displaystyle g\colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x,y)\longmapsto xy+x+y.}$

Es sei

${\displaystyle {}U=(\mathbb {R} _{+}\times \mathbb {R} )\setminus \{(2,4),(4,2)\}\,.}$

Begründe, ob die Abbildung

${\displaystyle \varphi \colon U\longrightarrow \mathbb {R} ^{3},\,(x,y)\longmapsto (x+y,xy,x^{y})=(u,v,w).}$

injektiv ist oder nicht.

Es soll eine (quaderförmige) Schachtel mit den Seitenlängen ${\displaystyle {}a,b,c\in \mathbb {R} _{+}}$ angefertigt werden, deren Inhalt gleich

${\displaystyle {}abc=1000\,{\rm {{cm}^{3}\,}}}$

sein soll.

a) Wie müssen ${\displaystyle {}a,b,c,}$ gewählt werden, damit der Materialaufwand für die sechs Seiten kritisch (also extremal sein könnte) wird?

b) Ist der Materialaufwand unter der in a) beschriebenen Situation minimal oder maximal?

c) Für die Luxusversion der Schachtel aus Teil a) soll die kleinste Seitenfläche (vorne und hinten) mit einer Goldfolie bedeckt werden. Die Materialkosten für eine solche Seite sind dreimal so hoch wie für eine normale Seite. Für welche Seitenlängen sind nun die Materialkosten extremal?