Endomorphismus/K/Potenz/Beschränktheit/Fakt

Es sei ${}V$ ein endlichdimensionaler ${}{\mathbb {K} }$ -Vektorraum und

\varphi \colon V\longrightarrow V

ein Endomorphismus. Dann sind folgende Eigenschaften äquivalent.

${}\varphi$ ist stabil.

Zu jedem ${}v\in V$ ist die Folge ${}\varphi ^{n}(v)$ , ${}n\in \mathbb {N}$ , beschränkt.

Es gibt ein Erzeugendensystem ${}v_{1},\ldots ,v_{m}\in V$ derart, dass ${}\varphi ^{n}(v_{j})$ , ${}j=1,\ldots ,m$ , beschränkt ist.

Der Betrag eines jeden komplexen Eigenwerts von ${}\varphi$ ist kleiner oder gleich ${}1$ und die Eigenwerte mit Betrag ${}1$ sind diagonalisierbar, d.h. ihre algebraische Vielfachheit ist gleich ihrer geometrischen Vielfachheit.

Für eine beschreibende Matrix ${}M$ von ${}\varphi$ , aufgefasst über ${}\mathbb {C}$ , sind die Jordan-Blöcke der jordanschen Normalform gleich
${\begin{pmatrix}\lambda &1&0&\cdots &0\\0&\lambda &1&\cdots &0\\\vdots &\ddots &\ddots &\ddots &\vdots \\\vdots &\cdots &0&\lambda &1\\0&\cdots &\cdots &0&\lambda \end{pmatrix}}$

mit ${}\vert {\lambda }\vert <1$ oder gleich ${}(\lambda )$ mit ${}\vert {\lambda }\vert =1$ .

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen

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