Analysis 3/Gemischte Definitionsabfrage/19/Aufgabe/Lösung

Ein Teilmengensystem ${}{\mathcal {A}}$ ${}{\mathcal {A}}$ auf einer Menge ${}M$ ${{}} M$ heißt Mengen-Algebra, wenn folgende Bedingungen erfüllt sind.
1. Es ist ${}M\in {\mathcal {A}}$ .
2. Mit ${}T\in {\mathcal {A}}$ gehört auch das Komplement ${}M\setminus T$ zu ${}{\mathcal {A}}$ .
3. Für je zwei Mengen ${}S,T\in {\mathcal {A}}$ ist auch ${}S\cup T\in {\mathcal {A}}$ .
Eine Schrumpfung von ${}T$ ist eine Folge von Teilmengen ${}T_{n}$ , ${}n\in \mathbb {N}$ , in ${}M$ mit ${}T_{n}\supseteq T_{n+1}$ für alle ${}n\in \mathbb {N}$ und mit ${}T=\bigcap _{n\in \mathbb {N} }T_{n}$ .
Für eine beliebige Teilmenge ${}T\subseteq M$ definiert man
${\tilde {\mu }}(T):=\inf \left(\sum _{i\in I}\mu (T_{i}),\,T\subseteq \bigcup _{i\in I}T_{i},\,T_{i}\in {\mathcal {P}},\,I{\text{ abzählbar}}\right)$

und nennt dies die Fortsetzung des äußeren Maßes ${}\mu$ .
Der topologische Raum ${}X$ heißt hausdorffsch, wenn es zu je zwei verschiedenen Punkten ${}x,y\in X$ zwei offene Mengen ${}U$ und ${}V$ gibt mit ${}x\in U,\,y\in V$ und ${}U\cap V=\emptyset$ .
Es seien ${}(U_{i},U_{i}',\alpha _{i},i\in I)$ und ${}(V_{j},V_{j}',\beta _{j},j\in J)$ die Atlanten von ${}M$ und ${}N$ . Die Abbildung
$\varphi \colon L\longrightarrow M$

heißt differenzierbar, wenn sie stetig ist und wenn für alle ${}i\in I$ und alle ${}j\in J$ die Abbildungen

$\beta _{j}\circ \varphi \circ (\alpha _{i})^{-1}\colon \alpha _{i}(\varphi ^{-1}(V_{j})\cap U_{i})\longrightarrow V_{j}'$

stetig differenzierbar sind.
Es seien ${}(U_{i},U_{i}',\alpha _{i},i\in I)$ und ${}(V_{j},V_{j}',\beta _{j},j\in J)$ die Atlanten von ${}M$ und ${}N$ . Dann nennt man den Produktraum ${}M\times N$ versehen mit den Karten
$\alpha _{i}\times \beta _{j}\colon U_{i}\times V_{j}\longrightarrow U_{i}'\times V_{j}'$

(mit $(i,j)\in I\times J$ und $U_{i}'\times V_{j}'\subseteq \mathbb {R} ^{m}\times \mathbb {R} ^{n}$ ) das Produkt der Mannigfaltigkeiten ${}M$ und ${}N$ .
Eine differenzierbare Mannigfaltigkeit ${}M$ mit einem Atlas ${}(U_{i},V_{i},\alpha _{i})$ heißt orientiert, wenn jede Karte orientiert ist und wenn sämtliche Kartenwechsel orientierungstreu sind.
Eine differenzierbare Differentialform ${}\omega$ auf ${}M$ heißt geschlossen, wenn ihre äußere Ableitung ${}d\omega =0$ ist.

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