Nach Fakt können wir davon ausgehen, dass ${\displaystyle {}G\subseteq \operatorname {SU} _{2}\!{\left(\mathbb {C} \right)}}$ ist. Es sei

${\displaystyle \pi \colon \operatorname {SU} _{2}\!{\left(\mathbb {C} \right)}\longrightarrow \operatorname {SO} _{3}\!{\left(\mathbb {R} \right)}}$

der surjektive Gruppenhomomorphismus aus Fakt. Es sei ${\displaystyle {}H=\pi (G)}$ die Bildgruppe von ${\displaystyle {}G}$ unter dieser Abbildung, für die es aufgrund von Fakt starke Einschränkungen gibt. Wenn ${\displaystyle {}{\#\left(G\right)}}$ ungerade ist, so enthält ${\displaystyle {}G}$ kein Element der Ordnung ${\displaystyle {}2}$. Also ist ${\displaystyle {}G\cap {\left(\operatorname {kern} \pi \right)}}$ trivial und somit ist ${\displaystyle {}G\rightarrow H}$ ein Isomorphismus. Aufgrund der Klassifikation für endliche Symmetriegruppen muss ${\displaystyle {}G}$ zyklisch sein. Sei also ${\displaystyle {}{\#\left(G\right)}}$ gerade, sagen wir ${\displaystyle {}{\#\left(G\right)}=2^{m}u}$ mit ${\displaystyle {}u}$ ungerade. Nach dem Satz von Sylow besitzt ${\displaystyle {}G}$ eine Untergruppe mit ${\displaystyle {}2^{m}}$ Elementen und damit insbesondere auch ein Element der Ordnung ${\displaystyle {}2}$. Wegen Fakt gibt es in ${\displaystyle {}\operatorname {SU} _{2}\!{\left(\mathbb {C} \right)}}$ nur das Element ${\displaystyle {}{\begin{pmatrix}-1&0\\0&-1\end{pmatrix}}}$ der Ordnung ${\displaystyle {}2}$. Also ist ${\displaystyle {}{\begin{pmatrix}-1&0\\0&-1\end{pmatrix}}\in G}$ und somit ist ${\displaystyle {}\operatorname {kern} \pi \subseteq G}$. Damit ist insbesondere

${\displaystyle {}G=\pi ^{-1}(\pi (G))\,,}$

d.h. ${\displaystyle {}G}$ ist das Urbild zu einer endlichen Untergruppe ${\displaystyle {}H\subseteq \operatorname {SO} _{3}\!{\left(\mathbb {R} \right)}}$. ${\displaystyle {}H}$ ist also eine der Untergruppen aus der Liste von Fakt. Zwei isomorphe Gruppen ${\displaystyle {}H_{1},H_{2}\subseteq \operatorname {SO} _{3}\!{\left(\mathbb {R} \right)}}$ sind sogar konjugiert. Wenn ${\displaystyle {}\alpha \in \operatorname {SO} _{3}\!{\left(\mathbb {R} \right)}}$ den inneren Automorphismus stiftet und ${\displaystyle {}{\tilde {\alpha }}\in \operatorname {SU} _{2}\!{\left(\mathbb {C} \right)}}$ ein Urbild ist, so vermittelt ${\displaystyle {}{\tilde {\alpha }}}$ einen Isomorphismus der Urbildgruppen ${\displaystyle {}\pi ^{-1}(H_{1})}$ und ${\displaystyle {}\pi ^{-1}(H_{2})}$. Der Isomorphietyp von ${\displaystyle {}G}$ ist also durch ${\displaystyle {}\pi (G)}$ festgelegt. Wenn ${\displaystyle {}\pi (G)=D_{n},T,O,I}$ ist, so muss ${\displaystyle {}G=BD_{n},BT,BO,BI}$ sein, da der Isomorphietyp festgelegt ist und die in den definierenden Beispielen Beispiel, Beispiel, Beispiel und Beispiel beschriebenen Gruppen modulo dem Element der Ordnung ${\displaystyle {}2}$ die entsprechenden reellen Symmetriegruppen ergeben.