Es gibt einen surjektiven Gruppenhomomorphismus

ist.

Die Abbildung kann explizit (mit ${\displaystyle u=a+b{\mathrm {i} }}$ und ${\displaystyle v=c+d{\mathrm {i} }}$ unter der Bedingung ${\displaystyle a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}=1}$) durch

${\displaystyle {\begin{pmatrix}u&-{\overline {v}}\\v&{\overline {u}}\end{pmatrix}}\longmapsto {\begin{pmatrix}a^{2}+b^{2}-c^{2}-d^{2}&2(-ad+bc)&2(ac+bd)\\2(ad+bc)&a^{2}-b^{2}+c^{2}-d^{2}&2(-ab+cd)\\2(-ac+bd)&2(ab+cd)&a^{2}-b^{2}-c^{2}+d^{2}\end{pmatrix}}}$

realisiert werden.