Sei ${\displaystyle {}n\in \mathbb {N} _{+}}$ und sei ${\displaystyle {}\zeta }$ eine ${\displaystyle {}2n}$-te komplexe primitive Einheitswurzel, beispielsweise

${\displaystyle {}\zeta =e^{\frac {2\pi {\mathrm {i} }}{2n}}=e^{\frac {\pi {\mathrm {i} }}{n}}\,.}$

Die von den Matrizen

${\displaystyle A=A_{2n}={\begin{pmatrix}\zeta &0\\0&\zeta ^{-1}\end{pmatrix}}\,\,{\text{ und }}\,\,B={\begin{pmatrix}0&{\mathrm {i} }\\{\mathrm {i} }&0\end{pmatrix}}}$

erzeugte Untergruppe der ${\displaystyle {}\operatorname {SL} _{2}\!{\left(\mathbb {C} \right)}}$ heißt die binäre Diedergruppe. Sie wird mit ${\displaystyle {}BD_{n}}$ bezeichnet. Das Element ${\displaystyle {}A}$ besitzt die Ordnung ${\displaystyle {}2n}$ und es ist

${\displaystyle {}A^{n}={\begin{pmatrix}\zeta ^{n}&0\\0&\zeta ^{-n}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-1&0\\0&-1\end{pmatrix}}=B^{2}\,.}$

Insbesondere besitzt ${\displaystyle {}B}$ die Ordnung ${\displaystyle {}4}$. Es ist

${\displaystyle {}BA={\begin{pmatrix}0&{\mathrm {i} }\\{\mathrm {i} }&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\zeta &0\\0&\zeta ^{-1}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&{\mathrm {i} }\zeta ^{-1}\\{\mathrm {i} }\zeta &0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\zeta ^{-1}&0\\0&\zeta \end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0&{\mathrm {i} }\\{\mathrm {i} }&0\end{pmatrix}}=A^{2n-1}B\,.}$

Somit lassen sich alle Elemente der Gruppe als

${\displaystyle A^{i}B^{j}{\text{ mit }}0\leq i\leq 2n-1,\,0\leq j\leq 1,}$

schreiben. Da ${\displaystyle {}B}$ nicht zu der von ${\displaystyle {}A}$ erzeugten Untergruppe gehört und (bei ${\displaystyle {}n\geq 2}$) umgekehrt, ist diese Darstellung bei ${\displaystyle {}n\geq 2}$ eindeutig und ${\displaystyle {}BD_{n}}$ besitzt genau ${\displaystyle {}4n}$ Elemente. Es liegt die Untergruppenbeziehung ${\displaystyle {}Z_{2n}\subseteq BD_{n}}$ vom Index ${\displaystyle {}2}$ vor.