Es sei ${\displaystyle {}\xi }$ eine primitive ${\displaystyle {}5}$-te komplexe Einheitswurzel. Wir setzen

${\displaystyle E=-{\begin{pmatrix}\xi ^{3}&0\\0&\xi ^{2}\end{pmatrix}}\,\,{\text{ und }}\,\,F={\frac {1}{\sqrt {5}}}{\begin{pmatrix}-\xi +\xi ^{4}&\xi ^{2}-\xi ^{3}\\\xi ^{2}-\xi ^{3}&\xi -\xi ^{4}\end{pmatrix}}.}$

Die von diesen Elementen erzeugte Untergruppe der ${\displaystyle {}\operatorname {SL} _{2}\!{\left(\mathbb {C} \right)}}$ heißt die binäre Ikosaedergruppe. Es ist

${\displaystyle {}E^{5}={\begin{pmatrix}-1&0\\0&-1\end{pmatrix}}\,}$

und somit besitzt ${\displaystyle {}E}$ die Ordnung ${\displaystyle {}10}$. Wegen

${\displaystyle {}{\begin{aligned}F^{2}&={\frac {1}{5}}{\begin{pmatrix}-\xi +\xi ^{4}&\xi ^{2}-\xi ^{3}\\\xi ^{2}-\xi ^{3}&\xi -\xi ^{4}\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}-\xi +\xi ^{4}&\xi ^{2}-\xi ^{3}\\\xi ^{2}-\xi ^{3}&\xi -\xi ^{4}\end{pmatrix}}\\&={\frac {1}{5}}{\begin{pmatrix}\xi ^{2}+\xi ^{3}-2+\xi ^{4}+\xi -2&0\\0&\xi ^{4}+\xi -2+\xi ^{2}+\xi ^{3}-2\end{pmatrix}}\\&={\frac {1}{5}}{\begin{pmatrix}-5&0\\0&-5\end{pmatrix}}\\&={\begin{pmatrix}-1&0\\0&-1\end{pmatrix}}\end{aligned}}}$

besitzt ${\displaystyle {}F}$ die Ordnung ${\displaystyle {}4}$. Ferner ist

${\displaystyle {}{\begin{aligned}EF&=-{\begin{pmatrix}\xi ^{3}&0\\0&\xi ^{2}\end{pmatrix}}\cdot {\frac {1}{\sqrt {5}}}{\begin{pmatrix}-\xi +\xi ^{4}&\xi ^{2}-\xi ^{3}\\\xi ^{2}-\xi ^{3}&\xi -\xi ^{4}\end{pmatrix}}\\&=-{\frac {1}{\sqrt {5}}}{\begin{pmatrix}-\xi ^{4}+\xi ^{2}&1-\xi \\\xi ^{4}-1&\xi ^{3}-\xi \end{pmatrix}}.\end{aligned}}}$

Dabei ist

${\displaystyle {}{\begin{aligned}{\begin{pmatrix}-\xi ^{4}+\xi ^{2}&1-\xi \\\xi ^{4}-1&\xi ^{3}-\xi \end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}-\xi ^{4}+\xi ^{2}&1-\xi \\\xi ^{4}-1&\xi ^{3}-\xi \end{pmatrix}}&={\begin{pmatrix}2\xi ^{4}+\xi ^{3}-\xi -2&-2\xi ^{4}+2\xi ^{2}-\xi +1\\\xi ^{4}-2\xi ^{3}+2\xi -1&-\xi ^{4}+\xi ^{2}+2\xi -2\end{pmatrix}}\\\end{aligned}}}$

und (unter Verwendung von ${\displaystyle {}\xi ^{2}+\xi ^{3}=-{\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}}$)

${\displaystyle {}{\begin{aligned}{\begin{pmatrix}-\xi ^{4}+\xi ^{2}&1-\xi \\\xi ^{4}-1&\xi ^{3}-\xi \end{pmatrix}}^{3}&={\begin{pmatrix}2\xi ^{4}+\xi ^{3}-\xi -2&-2\xi ^{4}+2\xi ^{2}-\xi +1\\\xi ^{4}-2\xi ^{3}+2\xi -1&-\xi ^{4}+\xi ^{2}+2\xi -2\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}-\xi ^{4}+\xi ^{2}&1-\xi \\\xi ^{4}-1&\xi ^{3}-\xi \end{pmatrix}}\\&={\begin{pmatrix}5\xi ^{4}-5\xi ^{3}-5\xi ^{2}+5\xi &0\\0&5\xi ^{4}-5\xi ^{3}-5\xi ^{2}+5\xi \end{pmatrix}}\\&={\begin{pmatrix}-5-10{\left(\xi ^{3}+\xi ^{2}\right)}&0\\0&-5-10{\left(\xi ^{3}+\xi ^{2}\right)}\end{pmatrix}}\\&={\begin{pmatrix}5{\sqrt {5}}&0\\0&5{\sqrt {5}}\end{pmatrix}},\end{aligned}}}$

also ist

${\displaystyle {}(EF)^{3}={\begin{pmatrix}-1&0\\0&-1\end{pmatrix}}\,}$

und die Ordnung von ${\displaystyle {}EF}$ ist ${\displaystyle {}6}$. Diese Gruppe besitzt ${\displaystyle {}120}$ Elemente und heißt die binäre Ikosaedergruppe, sie wird mit ${\displaystyle {}BI}$ bezeichnet.