{{ Mathematischer Text/Fakt |Text= {{ Faktstruktur|typ= |Situation= Es sei ${\displaystyle {}D}$ eine kommutative endliche Gruppe und ${\displaystyle {}\delta \colon \mathbb {Z} ^{n}\rightarrow D}$ ein surjektiver Gruppenhomomorphismus mit ${\displaystyle {}n\geq 2}$. Diesen Gruppenhomomorphismus fassen wir als ${\displaystyle {}D}$-Graduierung auf dem Polynomring ${\displaystyle {}\mathbb {C} [X_{1},\ldots ,X_{n}]}$ und als Operation der Charaktergruppe ${\displaystyle {}G=D^{\vee }}$ auf dem ${\displaystyle {}\mathbb {C} ^{n}}$ auf. Es sei ${\displaystyle {}\Gamma }$ der Kern von ${\displaystyle {}\delta }$, ${\displaystyle {}M=\Gamma \cap \mathbb {N} ^{n}}$ das zugehörige Monoid und

${\displaystyle {}\mathbb {C} [M]\subseteq \mathbb {C} [X_{1},\ldots ,X_{n}]\,}$

die zugehörige Inklusion des Monoidringes. Es sei

${\displaystyle q\colon \mathbb {C} ^{n}\longrightarrow Y=\operatorname {Spek} {\left(\mathbb {C} [M]\right)}_{\mathbb {C} }}$

die zugehörige Quotientenabbildung. |Voraussetzung= Es sei eine Zariski-abgeschlossene ${\displaystyle {}G}$-invariante Teilmenge ${\displaystyle {}T\subset \mathbb {C} ^{n}}$ derart gegeben, dass ${\displaystyle {}T}$ ganz in der Vereinigung der Achsenhyperebenen liegt, dass ${\displaystyle {}T}$ mindestens die Kodimension ${\displaystyle {}2}$ besitzt und dass die induzierte Operation von ${\displaystyle {}G}$ auf ${\displaystyle {}\mathbb {C} ^{n}\setminus T}$ fixpunktfrei sei. |Übergang=Dann gelten folgende Aussagen. |Folgerung= {{ Aufzählung4 |Die Fundamentalgruppe von

${\displaystyle {}Y\setminus q(T)={\left(\mathbb {C} ^{n}\setminus T\right)}/G\,}$

ist ${\displaystyle {}G}$. |Es sei ${\displaystyle {}m\in \mathbb {N} _{+}}$ derart, dass ${\displaystyle {}m\mathbb {Z} ^{n}\subseteq \Gamma }$ ist. Die Zuordnung

${\displaystyle F\colon \operatorname {Hom} \left(\Gamma ,\mathbb {Z} \right)\longrightarrow \operatorname {Hom} \left(\mathbb {Z} ^{n},\mathbb {C} ^{\times }\right),\,\gamma \longmapsto F(\gamma )={\left(e_{j}\mapsto e^{\frac {2\pi {\mathrm {i} }\gamma (me_{j})}{m}}\right)},}$

induziert einen Gruppenisomorphismus

${\displaystyle \operatorname {Hom} \left(\Gamma ,\mathbb {Z} \right)/\operatorname {bild} \left(\operatorname {Hom} \left(\mathbb {Z} ^{n},\mathbb {Z} \right)\right)\longrightarrow G.}$

|Die zu ${\displaystyle {}\gamma \in \operatorname {Hom} \left(\Gamma ,\mathbb {Z} \right)}$ gehörende Abbildung

${\displaystyle \gamma ^{*}\colon \mathbb {C} ^{\times }\longrightarrow {\left(\mathbb {C} ^{\times }\right)}^{n}\subseteq Y\setminus q(T),\,t\longmapsto (t^{\gamma (u_{1})},\ldots ,t^{\gamma (u_{n})}),}$

(${\displaystyle {}u_{j}}$ sei eine Basis von ${\displaystyle \Gamma \cong \mathbb {Z} ^{n}}$) ergibt durch Einschränkung auf ${\displaystyle {}S^{1}\subseteq \mathbb {C} ^{\times }}$ einen stetigen geschlossenen Weg

${\displaystyle [0,2\pi ]\longrightarrow Y\setminus q(T).}$

|Die Liftung des Weges aus (3) nach ${\displaystyle {}\mathbb {C} ^{n}\setminus T}$ mit dem Anfangspunkt ${\displaystyle {}(1,\ldots ,1)}$ ist durch

${\displaystyle [0,2\pi ]\longrightarrow \mathbb {C} ^{n}\setminus T,\,s\longmapsto \left(e^{\frac {{\mathrm {i} }s\gamma (me_{1})}{m}},\,\ldots ,\,e^{\frac {{\mathrm {i} }s\gamma (me_{n})}{m}}\right),}$

gegeben. Der Weg {{mathl|term=\gamma^*{{|}}_{S^1}|SZ=}} repräsentiert das nach (2) zu ${\displaystyle {}\gamma }$ gehörende Element in der Fundamentalgruppe ${\displaystyle {}G}$. }} |Zusatz= }} |Textart=Fakt |Kategorie=Theorie der lokalen Fundamentalgruppe von Monoidringen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Faktname= |Abfrage=Lokale Fundamentalgruppe von Monoidringen |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }}