Lineare Gruppe/gW in W/Zariski-Abgeschlossen/Fakt

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}V$ ein endlichdimensionaler ${}K$ -Vektorraum. Es sei ${}G$ eine affin-algebraische Gruppe, die auf ${}V$ ${}K$ -rational operiere. Dann gelten folgende Aussagen.

Für einen Vektor ${}v\in V$ und einen ${}K$ -Untervektorraum ${}U\subseteq V$ ist
${\left\{g\in G\mid g(v)\in U\right\}}\subseteq G$

Zariski-abgeschlossen.

Zu einem ${}K$ -Untervektorraum ${}U\subseteq V$ ist
$H={\left\{g\in G\mid g(U)\subseteq U\right\}}\subseteq G$

eine Zariski-abgeschlossene Untergruppe von ${}G$ (also selbst eine lineare Gruppe).

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen

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