Sei ${\displaystyle {}M}$ eine quadratische ${\displaystyle {}n\times n}$-Matrix über ${\displaystyle {}{\mathbb {K} }}$. Es sei ${\displaystyle {}\varphi _{1}}$ eine Lösung der linearen Differentialgleichung

${\displaystyle v'=Mv+z_{1}(t)}$

und ${\displaystyle {}\varphi _{2}}$ eine Lösung der linearen Differentialgleichung

${\displaystyle v'=Mv+z_{2}(t).}$

Zeige, dass ${\displaystyle {}\varphi _{1}+\varphi _{2}}$ eine Lösung der linearen Differentialgleichung

${\displaystyle v'=Mv+z_{1}(t)+z_{2}(t)}$

ist.

Sei

${\displaystyle {}v'=Mv\,}$

ein lineares Differentialgleichungssystem mit konstanten Koeffizienten, sei ${\displaystyle {}L}$ der Lösungsraum dieses Systems und sei ${\displaystyle {}t_{0}\in \mathbb {R} }$. Zeige, dass die Abbildung

${\displaystyle L\longrightarrow {\mathbb {K} }^{n},\,\varphi \longmapsto \varphi (t_{0}),}$

ein Vektorraum-Isomorphismus ist.

Wie transformieren sich in Lemma 56.2 die Anfangsbedingungen?

Löse das lineare Anfangswertproblem

${\displaystyle {\begin{pmatrix}v_{1}\\v_{2}\end{pmatrix}}'={\begin{pmatrix}3&0\\0&-5\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}v_{1}\\v_{2}\end{pmatrix}}{\text{ mit }}{\begin{pmatrix}v_{1}(0)\\v_{2}(0)\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}2\\-11\end{pmatrix}}.}$

Bestimme den Lösungsraum zum linearen Differentialgleichungssystem

${\displaystyle {\begin{pmatrix}v_{1}\\v_{2}\end{pmatrix}}'={\begin{pmatrix}1&-3\\4&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}v_{1}\\v_{2}\end{pmatrix}}.}$

Löse das lineare Anfangswertproblem

${\displaystyle {\begin{pmatrix}v_{1}\\v_{2}\\v_{3}\end{pmatrix}}'={\begin{pmatrix}2&3&2\\0&2&5\\0&0&3\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}v_{1}\\v_{2}\\v_{3}\end{pmatrix}}{\text{ mit }}{\begin{pmatrix}v_{1}(0)\\v_{2}(0)\\v_{3}(0)\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1\\0\\-1\end{pmatrix}}.}$

Löse das lineare Anfangswertproblem

${\displaystyle {\begin{pmatrix}v_{1}\\v_{2}\end{pmatrix}}'={\begin{pmatrix}2&3\\0&7\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}v_{1}\\v_{2}\end{pmatrix}}{\text{ mit }}{\begin{pmatrix}v_{1}(0)\\v_{2}(0)\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}5\\-4\end{pmatrix}}.}$

Bestimme den Lösungsraum zum linearen Differentialgleichungssystem

${\displaystyle {\begin{pmatrix}v_{1}\\v_{2}\\v_{3}\\v_{4}\end{pmatrix}}'={\begin{pmatrix}3&1&0&0\\0&3&0&0\\0&0&3&1\\0&0&0&3\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}v_{1}\\v_{2}\\v_{3}\\v_{4}\end{pmatrix}}.}$

Sei ${\displaystyle {}\lambda \in \mathbb {C} }$. Bestimme den Lösungsraum zum linearen Differentialgleichungssystem

${\displaystyle {}{\begin{pmatrix}v_{1}\\v_{2}\\\vdots \\v_{n}\end{pmatrix}}'={\begin{pmatrix}\lambda &1&0&\cdots &0\\0&\lambda &1&\ddots &\vdots \\\vdots &\ddots &\ddots &\ddots &0\\0&\cdots &0&\lambda &1\\0&\cdots &\cdots &0&\lambda \end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}v_{1}\\v_{2}\\\vdots \\v_{n}\end{pmatrix}}\,.}$

Bestimme die allgemeine Lösung des linearen Differentialgleichungssystems

${\displaystyle {\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}'={\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}t^{2}+e^{t}\\t\end{pmatrix}}.}$