Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Eine endliche Körpererweiterung ${\displaystyle {}K\subseteq L}$.
2. Eine ${\displaystyle {}n}$-te Einheitswurzel ${\displaystyle {}z}$ in einem Körper ${\displaystyle {}K}$ (${\displaystyle n\in \mathbb {N} _{+}}$).
3. Das von einer Familie von Elementen ${\displaystyle {}a_{j}\in R}$, ${\displaystyle {}j\in J}$, in einem kommutativen Ring ${\displaystyle {}R}$ erzeugte Ideal.
4. Die Galoisgruppe einer Körpererweiterung ${\displaystyle {}K\subseteq L}$.
5. Eine (endliche) Galoiserweiterung ${\displaystyle {}K\subseteq L}$.
6. Der ${\displaystyle {}n}$-te Kreisteilungskörper (über ${\displaystyle {}\mathbb {Q} }$).

Formuliere die folgenden Sätze.

1. Die Gradformel für endliche Körpererweiterungen ${\displaystyle {}K\subseteq L}$ und ${\displaystyle {}L\subseteq M}$.
2. Die trigonometrische Darstellung der ${\displaystyle {}n}$-ten komplexen Einheitswurzeln (${\displaystyle n\in \mathbb {N} _{+}}$).
3. Der Satz über den Grad der Kreisteilungskörper (über ${\displaystyle {}\mathbb {Q} }$).

Bestimme eine ganze Zahl ${\displaystyle {}n}$ derart, dass die Lösungen der quadratischen Gleichung

${\displaystyle {}x^{2}+3x+{\frac {7}{3}}=0\,}$

in ${\displaystyle {}\mathbb {Q} [{\sqrt {n}}]}$ liegen.

Bestimme das Minimalpolynom der komplexen Zahl ${\displaystyle {}2+5{\mathrm {i} }}$ über ${\displaystyle {}\mathbb {Q} }$.

Betrachte den Körper ${\displaystyle {}K=\mathbb {F} _{4}=\mathbb {Z} /(2)[U]/(U^{2}+U+1)}$. Führe im Polynomring ${\displaystyle {}K[X]}$ die Polynomdivision

${\displaystyle X^{4}+uX^{3}+(u+1)X+1{\text{ durch }}uX^{2}+X+u+1}$

aus, wobei ${\displaystyle {}u}$ die Restklasse von ${\displaystyle {}U}$ in ${\displaystyle {}K}$ bezeichnet.

Finde im Polynomring ${\displaystyle {}\mathbb {Z} /(2)[X]}$ ein irreduzibles Polynom vom Grad vier.

Berechne in

${\displaystyle \mathbb {Z} /(7)[X]/(X^{3}+4X^{2}+X+5)}$

${\displaystyle (2x^{2}+5x+3)\cdot (3x^{2}+x+6)}$

(${\displaystyle {}x}$ bezeichne die Restklasse von ${\displaystyle {}X}$).

Beweise die „Gradformel“ für eine Kette von endlichen Körpererweiterungen ${\displaystyle {}K\subseteq L\subseteq M}$.

Es seien ${\displaystyle {}k}$ und ${\displaystyle {}n}$ ganze Zahlen. Zeige, dass die folgenden Aussagen äquivalent sind.

1. ${\displaystyle {}k}$ teilt ${\displaystyle {}n}$.
2. Es ist ${\displaystyle {}\mathbb {Z} n\subseteq \mathbb {Z} k}$.
3. Es gibt einen Ringhomomorphismus

   ${\displaystyle \mathbb {Z} /(n)\longrightarrow \mathbb {Z} /(k).}$

4. Es gibt einen surjektiven Gruppenhomomorphismus

   ${\displaystyle \mathbb {Z} /(n)\longrightarrow \mathbb {Z} /(k).}$

Es sei ${\displaystyle {}n\in \mathbb {N} _{+}}$ und es sei ${\displaystyle {}\mu _{n}\subseteq \mathbb {C} }$ die Menge der ${\displaystyle {}n}$-ten komplexen Einheitswurzeln. Es sei ${\displaystyle {}F\in \mathbb {C} [X]}$ ein Polynom. Zeige, dass ${\displaystyle {}F\in \mathbb {C} [X^{n}]}$ (d.h., dass ${\displaystyle {}F}$ als Polynom in ${\displaystyle {}X^{n}}$ geschrieben werden kann) genau dann gilt, wenn für jedes ${\displaystyle {}z\in \mu _{n}}$ die Gleichheit

${\displaystyle {}F(zX)=F(X)\,}$

gilt.

Es sei ${\displaystyle {}K}$ ein Körper und ${\displaystyle {}K[X]}$ der Polynomring über ${\displaystyle {}K}$. Zeige unter Verwendung der Division mit Rest, dass ${\displaystyle {}K[X]}$ ein Hauptidealbereich ist.

Bestimme die Galoisgruppe (einschließlich der Gruppenstruktur) der Körpererweiterung ${\displaystyle {}\mathbb {Q} \subseteq \mathbb {Q} [{\mathrm {i} }]}$.

Es seien ${\displaystyle {}D_{1}}$ und ${\displaystyle {}D_{2}}$ kommutative Gruppen und seien ${\displaystyle {}D_{1}^{\vee }}$ und ${\displaystyle {}D_{2}^{\vee }}$ die zugehörigen Charaktergruppen zu einem Körper ${\displaystyle {}K}$.

1. Zeige, dass zu einem Gruppenhomomorphismus

   ${\displaystyle \varphi \colon D_{1}\longrightarrow D_{2}}$

   durch die Zuordnung ${\displaystyle {}\chi \mapsto \chi \circ \varphi }$ ein Gruppenhomomorphismus

   ${\displaystyle \varphi ^{\vee }\colon D_{2}^{\vee }\longrightarrow D_{1}^{\vee }}$

   definiert wird.

2. Es sei ${\displaystyle {}D_{3}}$ eine weitere kommutative Gruppe und sei

   ${\displaystyle \psi \colon D_{2}\longrightarrow D_{3}}$

   ein Gruppenhomomorphismus. Zeige die Gleichheit

   ${\displaystyle {}(\psi \circ \varphi )^{\vee }=\varphi ^{\vee }\circ \psi ^{\vee }\,.}$