Es seien ${\displaystyle {}D_{1}}$ und ${\displaystyle {}D_{2}}$ kommutative Gruppen und seien ${\displaystyle {}D_{1}^{\vee }}$ und ${\displaystyle {}D_{2}^{\vee }}$ die zugehörigen Charaktergruppen zu einem Körper ${\displaystyle {}K}$.

1. Zeige, dass zu einem Gruppenhomomorphismus

   ${\displaystyle \varphi \colon D_{1}\longrightarrow D_{2}}$

   durch die Zuordnung ${\displaystyle {}\chi \mapsto \chi \circ \varphi }$ ein Gruppenhomomorphismus

   ${\displaystyle \varphi ^{\vee }\colon D_{2}^{\vee }\longrightarrow D_{1}^{\vee }}$

   definiert wird.

2. Es sei ${\displaystyle {}D_{3}}$ eine weitere kommutative Gruppe und sei

   ${\displaystyle \psi \colon D_{2}\longrightarrow D_{3}}$

   ein Gruppenhomomorphismus. Zeige die Gleichheit

   ${\displaystyle {}(\psi \circ \varphi )^{\vee }=\varphi ^{\vee }\circ \psi ^{\vee }\,.}$