Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Eine Gerade in Punktvektorform im ${\displaystyle {}K^{n}}$.
2. Die beschreibende Matrix zu einer linearen Abbildung

   ${\displaystyle \varphi \colon K^{n}\longrightarrow K^{m}}$

   bezüglich der Standardbasen.

3. Eine Äquivalenzrelation ${\displaystyle {}\sim }$ auf einer Menge ${\displaystyle {}M}$.
4. Ein Dedekindscher Schnitt.
5. Der trigonometrische Punkt ${\displaystyle {}P(\alpha )}$ zu einem Winkel ${\displaystyle {}\alpha }$.
6. Ein endlicher Wahrscheinlichkeitsraum.

Formuliere die folgenden Sätze.

1. Der Satz über den Lösungsraum bei einer linearen Gleichung.
2. Der Satz über die Eindeutigkeit des Limes in einem angeordneten Körper ${\displaystyle {}K}$.
3. Der Satz über Nullstellen und lineare Faktoren eines Polynoms ${\displaystyle {}F\in K[X]}$.

Ein lineares Ungleichungssystem sei durch die Ungleichungen

${\displaystyle {}x\geq 0\,,}$

${\displaystyle {}y+x\geq 0\,,}$

${\displaystyle {}-1-y\leq -x\,,}$

${\displaystyle {}5y-2x\leq 3\,,}$

gegeben.

a) Skizziere die Lösungsmenge dieses Ungleichungssystems.

b) Bestimme die Eckpunkte der Lösungsmenge.

Bestimme die Punktrichtungsform für die durch die Gleichung

${\displaystyle {}4x+7y=3\,}$

im ${\displaystyle {}\mathbb {Q} ^{2}}$ gegebene Gerade.

Beweise das Injektivitätskriterium für eine lineare Abbildung

${\displaystyle \varphi \colon K^{n}\longrightarrow K^{m}.}$

Es seien ${\displaystyle {}x,y}$ rationale Zahlen. Zeige, dass

${\displaystyle {}x-\left\lfloor x\right\rfloor =y-\left\lfloor y\right\rfloor \,}$

genau dann gilt, wenn es ein ${\displaystyle {}n\in \mathbb {Z} }$ mit ${\displaystyle {}y=x+n}$ gibt.

Bestimme das inverse Element zu ${\displaystyle {}{\overline {37}}}$ in ${\displaystyle {}\mathbb {Z} /(89)}$.

Es sei ${\displaystyle {}K}$ ein Körper. Wir betrachten die Abbildung

${\displaystyle \varphi \colon K\longrightarrow \operatorname {Mat} _{2}(K),\,a\longmapsto {\begin{pmatrix}a&0\\0&1\end{pmatrix}}.}$

Welche Eigenschaften eines Ringhomomorphismus erfüllt die Abbildung ${\displaystyle {}\varphi }$, welche nicht?

Es sei ${\displaystyle {}I=[a,b]}$ ein Intervall in einem angeordneten Körper ${\displaystyle {}K}$. Beschreibe die Menge

${\displaystyle {}M={\left\{x\in K\mid -x\in [a,b]\right\}}\,}$

als ein Intervall.

Berechne

${\displaystyle {\left({\frac {7}{3}}-{\frac {3}{2}}{\sqrt {5}}\right)}\cdot {\left({\frac {4}{5}}+{\frac {5}{3}}{\sqrt {5}}\right)}.}$

Entscheide, ob die Folge

${\displaystyle {}x_{n}={\frac {7n^{4}-2n^{2}+5}{4n^{4}-5n^{3}+n-6}}\,}$

in ${\displaystyle {}\mathbb {Q} }$ konvergiert und bestimme gegebenenfalls den Grenzwert.

Beweise den Satz, dass der Limes einer konvergenten Folge in einem angeordneten Körper eindeutig bestimmt ist.

Es sei ${\displaystyle {}x\in \mathbb {R} _{\geq 0}}$ eine nichtnegative reelle Zahl. Für jedes ${\displaystyle {}\epsilon \in \mathbb {R} ,\,\epsilon >0}$, gelte ${\displaystyle {}x\leq \epsilon }$. Zeige ${\displaystyle {}x=0}$.

Bestimme die rationale Zahl, die im Dezimalsystem durch

${\displaystyle 0{,}7{\overline {41}}}$

gegeben ist.

Erläutere die geometrische Relevanz des geometrischen Mittels.

Beweise die Lösungsformel für quadratische Gleichungen.

Es sei

${\displaystyle {}P=X^{3}+bX^{2}+cX+d\,}$

ein normiertes Polynom über einem Körper ${\displaystyle {}K}$. Es seien ${\displaystyle {}u,v,w}$ drei (verschiedene) Zahlen aus ${\displaystyle {}K}$. Zeige, dass diese drei Zahlen genau dann Nullstellen von ${\displaystyle {}P}$ sind, wenn sie das Gleichungssystem

${\displaystyle {}uvw=-d\,,}$

${\displaystyle {}uv+uw+vw=c\,,}$

${\displaystyle {}u+v+w=-b\,,}$

erfüllen.

Fridolin sagt:

„Irgendwas kann am Zwischenwertsatz nicht stimmen. Für die stetige Funktion

${\displaystyle f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto {\frac {1}{x}},}$

gilt ${\displaystyle {}f(-1)=-1}$ und ${\displaystyle {}f(1)=1}$. Nach dem Zwischenwertsatz müsste es also eine Nullstelle zwischen ${\displaystyle {}-1}$ und ${\displaystyle {}1}$ geben, also eine Zahl ${\displaystyle {}x\in [-1,1]}$ mit ${\displaystyle {}f(x)=0}$. Es ist doch aber stets ${\displaystyle {}{\frac {1}{x}}\neq 0}$.“

Wo liegt der Fehler in dieser Argumentation?

Ordne die folgenden Funktionen den Bildern zu (man schreibe ohne Begründung hinter den Funktionsausdruck den Buchstaben des zugehörigen Bildes; nur für vollständig richtige Antworten gibt es Punkte).

1. ${\displaystyle {\frac {1}{3}}\sin \left({\frac {1}{2}}x+1\right)-1,}$

2. ${\displaystyle {\frac {1}{3}}\sin \left({\frac {1}{2}}x-1\right)-1,}$

3. ${\displaystyle {\frac {1}{2}}\sin \left({\frac {1}{3}}x+1\right)-1,}$

4. ${\displaystyle {\frac {1}{3}}\sin \left({\frac {1}{2}}x+1\right)+1,}$

5. ${\displaystyle {\frac {1}{3}}\sin \left(2x+1\right)-1,}$

6. ${\displaystyle {\frac {1}{3}}\sin \left({\frac {1}{2}}x+{\frac {\pi }{2}}\right)-1.}$

• 
  a)
• 
  b)
• 
  c)

• 
  d)
• 
  e)
• 
  f)

Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass man beim Zahlenlotto (genau) drei Richtige hat.

Wir betrachten den Wahrscheinlichkeitsraum ${\displaystyle {}M=\{1,2,3,\ldots ,143\}}$ mit der Laplace-Dichte. Es sei ${\displaystyle {}E}$ das Ereignis, dass eine Zahl aus ${\displaystyle {}M}$ ein Vielfaches der ${\displaystyle {}11}$ ist, und ${\displaystyle {}F}$ das Ereignis, dass eine Zahl aus ${\displaystyle {}M}$ ein Vielfaches der ${\displaystyle {}13}$ ist. Sind ${\displaystyle {}E}$ und ${\displaystyle {}F}$ unabhängig?