Es sei ${\displaystyle {}K}$ ein Körper und ${\displaystyle {}m,n\in \mathbb {N} }$. Eine Abbildung

${\displaystyle \varphi \colon K^{n}\longrightarrow K^{m}}$

heißt lineare Abbildung, wenn die beiden folgenden Eigenschaften erfüllt sind.

1. ${\displaystyle {}\varphi (u+v)=\varphi (u)+\varphi (v)}$ für alle ${\displaystyle {}u,v\in K^{n}}$.
2. ${\displaystyle {}\varphi (sv)=s\varphi (v)}$ für alle ${\displaystyle {}s\in K}$ und ${\displaystyle {}v\in K^{n}}$.