Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Die Fakultätsfunktion

   ${\displaystyle \mathbb {R} _{>-1}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto \operatorname {Fak} \,x.}$

2. Eine Metrik auf einer Menge ${\displaystyle {}M}$.
3. Eine abgeschlossene Menge ${\displaystyle {}A\subseteq M}$ in einem metrischen Raum ${\displaystyle {}M}$.
4. Eine Lipschitz-stetige Abbildung

   ${\displaystyle f\colon L\longrightarrow M}$

   zwischen den metrischen Räumen ${\displaystyle {}L}$ und ${\displaystyle {}M}$.

5. Die Jacobi-Matrix zu einer partiell differenzierbaren Abbildung

   ${\displaystyle \varphi \colon \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R} ^{m}}$

   in einem Punkt ${\displaystyle {}P\in \mathbb {R} ^{n}}$.

6. Eine gewöhnliche Differentialgleichung zu einem (zeitabhängigen) Vektorfeld.

Formuliere die folgenden Sätze.

1. Die Formel für die Länge einer Kurve

   ${\displaystyle f\colon [a,b]\longrightarrow \mathbb {R} ^{n}.}$

2. Das Minorenkriterium für den Typ einer symmetrischen Bilinearform.
3. Die Mittelwertabschätzung für eine differenzierbare Abbildung

   ${\displaystyle \varphi \colon G\longrightarrow W,}$

   wobei ${\displaystyle {}G\subseteq V}$ offen und ${\displaystyle {}V}$ und ${\displaystyle {}W}$ euklidische Vektorräume

   seien.
4. Das notwendige Kriterium für die Existenz eines Extremums auf einer Hyperfläche.

Der ${\displaystyle {}\mathbb {R} ^{n}}$ sei mit der euklidischen Metrik versehen.

a) Man gebe eine Beispiel für einen endlichen metrischen Raum, den man als Teilraum (mit der induzierten Metrik) des ${\displaystyle {}\mathbb {R} ^{2}}$, aber nicht als Teilraum von ${\displaystyle {}\mathbb {R} }$ realisieren kann.

b) Man gebe eine Beispiel für einen endlichen metrischen Raum, den man nicht als Teilraum des ${\displaystyle {}\mathbb {R} ^{2}}$ realisieren kann.

Es sei ${\displaystyle {}M}$ ein nichtleerer vollständiger metrischer Raum und es seien

${\displaystyle f,g\colon M\longrightarrow M}$

starke Kontraktionen.

a) Zeige, das die Verknüpfung ${\displaystyle {}g\circ f}$ ebenfalls eine starke Kontraktion ist.

b) Zeige durch ein Beispiel mit ${\displaystyle {}M=\mathbb {R} }$, dass der Fixpunkt von ${\displaystyle {}g\circ f}$ weder mit dem Fixpunkt zu ${\displaystyle {}f}$ noch mit dem Fixpunkt zu ${\displaystyle {}g}$ übereinstimmen muss.

Berechne die Länge der archimedischen Spirale

${\displaystyle \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,t\longmapsto \left(t\cos t,\,t\sin t\right),}$

für die Umdrehung zwischen ${\displaystyle {}t=0}$ und ${\displaystyle {}t=2\pi }$.

Es sei

${\displaystyle {}v'=Mv\,}$

mit

${\displaystyle {}M\in \operatorname {Mat} _{n\times n}({\mathbb {K} })\,}$

eine lineare gewöhnliche Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten und es sei ${\displaystyle {}u\in {\mathbb {K} }^{n}}$ ein Eigenvektor zu ${\displaystyle {}M}$ zum Eigenwert ${\displaystyle {}\lambda \in {\mathbb {K} }}$. Zeige, dass die Abbildung

${\displaystyle \mathbb {R} \longrightarrow {\mathbb {K} }^{n},\,t\longmapsto ce^{\lambda t}u=c{\begin{pmatrix}e^{\lambda t}u_{1}\\\vdots \\e^{\lambda t}u_{n}\end{pmatrix}},}$

(${\displaystyle c\in {\mathbb {K} }}$) eine Lösung dieses Differentialgleichungssystems ist.

Bestimme die regulären Punkte der Abbildung

${\displaystyle \varphi \colon \mathbb {R} ^{3}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x,y,z)\longmapsto x^{2}+y^{3}+z^{7}+xyz.}$

Es sei

${\displaystyle f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} }$

eine nullstellenfreie stetig differenzierbare Funktion und sei ${\displaystyle {}g}$ eine Stammfunktion zu ${\displaystyle {}f}$. Es sei

${\displaystyle \varphi \colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ^{2}}$

mit

${\displaystyle {}\varphi (x,y)=\left({\frac {x}{f(y)}},\,g(y)\right)\,.}$

a) Bestimme die Jacobi-Matrix zu ${\displaystyle {}\varphi }$.

b) Zeige, dass man auf ${\displaystyle {}\varphi }$ in jedem Punkt den Satz über die lokale Umkehrbarkeit anwenden kann.

c) Zeige, dass ${\displaystyle {}\varphi }$ injektiv ist.

Es sei

${\displaystyle h\colon \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R} }$

eine stetig differenzierbare Funktion und

${\displaystyle {}G(P)=\operatorname {Grad} \,h(P)\,}$

das zugehörige Gradientenfeld. Es sei

${\displaystyle \varphi \colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ^{n}}$

eine stetig differenzierbare Lösung zur zugehörigen Differentialgleichung und es sei ${\displaystyle {}t\in \mathbb {R} }$ ein Zeitpunkt mit

${\displaystyle {}\varphi '(t)=0\,.}$

a) Es sei ${\displaystyle {}h}$ zweimal stetig differenzierbar. Zeige, dass ${\displaystyle {}\varphi }$ konstant ist.

b) Zeige durch ein Beispiel, dass ohne die Voraussetzung aus a) ${\displaystyle {}\varphi }$ nicht konstant sein muss.