Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Eine Nullstellenmenge zu einer Menge an Polynomen im Polynomring ${\displaystyle {}K[X_{1},\ldots ,X_{n}]}$.
2. Ein ${\displaystyle {}R}$-Modul ${\displaystyle {}M}$ über einem kommutativen Ring ${\displaystyle {}R}$.
3. Der Koordinatenring zu einer affin-algebraischen Menge ${\displaystyle {}V\subseteq {{\mathbb {A} }_{K}^{n}}}$.
4. Ein glatter Punkt ${\displaystyle {}P}$ auf einer ebenen algebraischen Kurve ${\displaystyle {}C=V(F)\subseteq {\mathbb {A} }_{K}^{2}}$.
5. Ein diskreter Bewertungsring.
6. Der projektive Raum ${\displaystyle {}{\mathbb {P} }_{K}^{n}}$.

Formuliere die folgenden Sätze.

1. Der Satz über den globalen Schnittring zu ${\displaystyle {}D(f)}$.
2. Der Satz über Gleichungen für monomiale Kurven.
3. Der Satz über Automorphismen auf dem Potenzreihenring.

Zeige, dass im Polynomring ${\displaystyle {}K[X,Y]}$ über einem Körper ${\displaystyle {}K}$ das Ideal ${\displaystyle {}(X,Y)}$ kein Hauptideal ist.

Es sei ${\displaystyle {}K}$ ein Körper und ${\displaystyle {}K[X_{1},\ldots ,X_{n}]}$ der Polynomring über ${\displaystyle {}K}$ in ${\displaystyle {}n}$ Variablen und ${\displaystyle {}K[X_{1},\ldots ,X_{n},Z]}$ der Polynomring in ${\displaystyle {}n+1}$ Variablen. Zeige, dass die Homogenisierung (bezüglich ${\displaystyle {}Z}$) mit der Multiplikation verträglich ist.

Es sei ${\displaystyle {}R}$ ein kommutativer Ring und ${\displaystyle {}f\in R}$ sei nicht nilpotent. Zeige, dass es ein Primideal ${\displaystyle {}{\mathfrak {p}}}$ mit ${\displaystyle {}f\notin {\mathfrak {p}}}$ gibt.

Es sei ${\displaystyle {}n\in \mathbb {N} _{+}}$. Zeige, dass das ${\displaystyle {}\mathbb {C} }$-Spektrum des kommutativen Monoids ${\displaystyle {}M=\mathbb {N} \times \mathbb {Z} /(n)}$ aus ${\displaystyle {}n}$ irreduziblen Komponenten besteht, die alle isomorph zur affinen Geraden ${\displaystyle {}{\mathbb {A} }_{\mathbb {C} }^{1}}$ sind.

Beweise den Satz über Gleichungen für monomiale Kurven.

Beweise den Satz über Automorphismen auf dem Potenzreihenring.

Zeige, dass die ebene projektive Kurve

${\displaystyle {}V_{+}{\left(X^{4}+Y^{3}Z+Z^{4}\right)}\subset {\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{2}\,}$

glatt ist.

Bestimme zu einem Punkt ${\displaystyle {}(a,b)\in {\mathbb {P} }_{}^{1}}$ die Gleichung für die Urbildgerade zur Projektion weg von einem Punkt

${\displaystyle {\mathbb {P} }_{K}^{2}\setminus \{(1,0,0)\}\longrightarrow {\mathbb {P} }_{K}^{1},\,(x,y,z)\longmapsto (y,z).}$