Es sei ${\displaystyle {}K}$ ein Körper und sei ${\displaystyle {}V}$ ein ${\displaystyle {}n}$-dimensionaler ${\displaystyle {}K}$-Vektorraum mit einer Basis ${\displaystyle {}{\mathfrak {v}}=v_{1},\ldots ,v_{n}}$ und sei ${\displaystyle {}W}$ ein ${\displaystyle {}m}$-dimensionaler Vektorraum mit einer Basis ${\displaystyle {}{\mathfrak {w}}=w_{1},\ldots ,w_{m}}$. Es seien ${\displaystyle {}v_{1}^{*},\ldots ,v_{n}^{*}}$ bzw. ${\displaystyle {}w_{1}^{*},\ldots ,w_{m}^{*}}$ die zugehörigen Dualbasen. Es sei

${\displaystyle \varphi \colon V\longrightarrow W}$

eine lineare Abbildung, die bezüglich der gegebenen Basen durch die ${\displaystyle {}m\times n}$-Matrix

${\displaystyle {}M=M_{\mathfrak {w}}^{\mathfrak {v}}(\varphi )=(a_{ij})_{ij}\,}$

beschrieben werde.

Dann wird die duale Abbildung

${\displaystyle \varphi ^{*}\colon {W}^{*}\longrightarrow {V}^{*}}$

bezüglich der Dualbasen von ${\displaystyle {}{V}^{*}}$ bzw. ${\displaystyle {}{W}^{*}}$ durch die transponierte Matrix ${\displaystyle {}{{\left(M_{\mathfrak {w}}^{\mathfrak {v}}(\varphi )\right)}^{\text{tr}}}}$ beschrieben.