Die Behauptung bedeutet die Gleichheit

${\displaystyle {}\varphi ^{*}(w_{j}^{*})=\sum _{i=1}^{n}a_{ji}v_{i}^{*}\,}$

in ${\displaystyle {}{V}^{*}}$. Dies kann man auf der Basis ${\displaystyle {}v_{k}}$, ${\displaystyle {}k=1,\ldots ,n}$, überprüfen. Es ist einerseits

${\displaystyle {}{\begin{aligned}{\left(\varphi ^{*}(w_{j}^{*})\right)}(v_{k})&=w_{j}^{*}{\left(\varphi (v_{k})\right)}\\&=w_{j}^{*}{\left(\sum _{r=1}^{m}a_{rk}w_{r}\right)}\\&=\sum _{r=1}^{m}a_{rk}w_{j}^{*}(w_{r})\\&=a_{jk}\end{aligned}}}$

und andererseits ebenso

${\displaystyle {}{\left(\sum _{i=1}^{n}a_{ji}v_{i}^{*}\right)}(v_{k})=a_{jk}\,.}$