${\displaystyle S_{1}\times \cdots \times S_{n}{\text{ mit }}S_{i}\in {\mathcal {P}}_{i}{\text{ für alle }}i=1,\ldots ,n}$

erzeugte Präring in ${\displaystyle {}M_{1}\times \cdots \times M_{n}}$.

${\displaystyle {}B}$

${\displaystyle {}P}$

${\displaystyle {}K_{B}={\left\{P+t(Q-P)\mid Q\in B,\,t\in [0,1]\right\}}\,.}$

${\displaystyle {}Q\in L}$

${\displaystyle {}\varphi }$

${\displaystyle T_{Q}(\varphi )\colon T_{Q}L\longrightarrow T_{\varphi (Q)}M}$

im Punkt ${\displaystyle {}Q}$ maximalen Rang besitzt.

${\displaystyle \alpha _{1}\colon U_{1}\longrightarrow V_{1}}$

und

${\displaystyle \alpha _{2}\colon U_{2}\longrightarrow V_{2}}$

orientierte Karten von ${\displaystyle {}M}$. Der zugehörige Kartenwechsel

${\displaystyle \psi =\alpha _{2}\circ \alpha _{1}^{-1}\colon V_{1}\cap \alpha _{1}(U_{1}\cap U_{2})\longrightarrow V_{2}\cap \alpha _{2}(U_{1}\cap U_{2})}$

heißt orientierungstreu, wenn für jeden Punkt ${\displaystyle {}Q\in V_{1}\cap \alpha _{1}(U_{1}\cap U_{2})}$ das totale Differential

${\displaystyle \left(D\psi \right)_{Q}\colon \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R} ^{n}}$

orientierungstreu ist.

${\displaystyle {}\omega }$

${\displaystyle {}U}$

${\displaystyle \omega =\sum _{I\subseteq \{1,\ldots ,n\},\,{\#\left(I\right)}=k}f_{I}dx_{I}}$

mit stetig differenzierbaren Funktionen

${\displaystyle f_{I}\colon U\longrightarrow \mathbb {R} .}$

Dann ist die äußere Ableitung die ${\displaystyle {}(k+1)}$-Form

${\displaystyle {}d\omega =\sum _{I\subseteq \{1,\ldots ,n\},\,{\#\left(I\right)}=k}df_{I}\wedge dx_{I}=\sum _{I\subseteq \{1,\ldots ,n\},\,{\#\left(I\right)}=k}{\left(\sum _{j=1}^{n}{\frac {\partial f_{I}}{\partial x_{j}}}dx_{j}\right)}\wedge dx_{I}\,.}$