${\displaystyle {}I=[1,\infty ]}$

${\displaystyle f\colon I\longrightarrow \mathbb {R} }$

eine stetige fallende Funktion mit ${\displaystyle {}f(x)\geq 0}$ für alle ${\displaystyle {}x\in I}$. Dann existiert das uneigentliche Integral

${\displaystyle \int _{1}^{\infty }f(t)\,dt}$

genau dann, wenn die Reihe

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }f(n)}$

${\displaystyle {}U\subseteq V}$

${\displaystyle F\colon U\longrightarrow V}$

ein stetiges Vektorfeld und

${\displaystyle \gamma \colon [a,b]\longrightarrow U}$

eine stetig differenzierbare Kurve. Es sei

${\displaystyle g\colon [c,d]\longrightarrow [a,b]}$

eine bijektive, monoton wachsende, stetig differenzierbare Funktion und sei ${\displaystyle {}{\tilde {\gamma }}=\gamma \circ g}$. Dann gilt

${\displaystyle {}\int _{\gamma }F=\int _{\tilde {\gamma }}F\,.}$

${\displaystyle {}V}$

${\displaystyle {}W}$

${\displaystyle {}{\mathbb {K} }}$

${\displaystyle {}G\subseteq V}$

${\displaystyle {}\varphi \colon G\rightarrow W}$

${\displaystyle {}P\in G}$

${\displaystyle {}\varphi }$

${\displaystyle {}P}$

${\displaystyle {}v}$

${\displaystyle {\left(D_{v}\varphi \right)}{\left(P\right)}={\left(D\varphi \right)}_{P}{\left(v\right)}.}$

${\displaystyle {}T\subseteq \mathbb {R} ^{k}}$

${\displaystyle {}E}$

${\displaystyle C=C(T,E)}$

der Vektorraum der stetigen Abbildungen von ${\displaystyle {}T}$ nach ${\displaystyle {}E}$. Dann ist ${\displaystyle {}C}$, versehen mit der Maximumsnorm, ein