${\displaystyle {}T\subseteq \mathbb {R} ^{n}}$

${\displaystyle f\colon T\longrightarrow \mathbb {R} ^{m}}$

eine stetige Abbildung. Dann ist auch das Bild

${\displaystyle {}f(T)}$

${\displaystyle {}U\subseteq \mathbb {R} ^{n}}$

${\displaystyle f\colon U\longrightarrow \mathbb {R} ^{m}}$

eine stetig differenzierbare Abbildung. Es sei ${\displaystyle {}M=f^{-1}(b)}$ die Faser von ${\displaystyle {}f}$ über ${\displaystyle {}b\in \mathbb {R} ^{m}}$. Es sei

${\displaystyle h\colon U\longrightarrow \mathbb {R} }$

eine differenzierbare Funktion und die eingeschränkte Funktion ${\displaystyle {}h{|}_{M}}$ besitze im Punkt ${\displaystyle {}a\in M}$ ein lokales Extremum auf ${\displaystyle {}M}$ und ${\displaystyle {}a}$ sei ein regulärer Punkt von ${\displaystyle {}f}$. Dann ist

${\displaystyle {}T_{a}M\subseteq \operatorname {kern} \left(Dh\right)_{a}\,,}$

d.h. die Linearform ${\displaystyle {}\left(Dh\right)_{a}}$ verschwindet auf dem Tangentialraum

${\displaystyle {}f}$

${\displaystyle {}a}$

${\displaystyle {}V}$

${\displaystyle {}I\subseteq \mathbb {R} }$

${\displaystyle {}U\subseteq V}$

${\displaystyle f\colon I\times U\longrightarrow V,\,(t,v)\longmapsto f(t,v),}$

ein stetiges Vektorfeld auf ${\displaystyle {}U}$ das lokal einer Lipschitz-Bedingung genügt. Es sei ${\displaystyle {}J\subseteq I}$ ein offenes Teilintervall und es seien

${\displaystyle v_{1},v_{2}\colon J\longrightarrow V}$

Lösungen des Anfangswertproblems

${\displaystyle v'=f(t,v){\text{ und }}v(t_{0})=w.}$

${\displaystyle {}v_{1}=v_{2}}$