Beweisarchiv: Mengenlehre

Charakteristikum unendlicher Mengen

Injektivität Surjektivität Bijektivität: Faktoren · Komposition · Linksinverse · Linkskürzbarkeit · Rechtsinverse · Rechtskürzbarkeit

Verkettungen: Assoziativgesetz der Hintereinanderausführung

Mächtigkeiten (Kardinalzahlen): lineare Ordnung · Kardinalität und Bijektionen · Potenzmenge

Deskriptive Mengenlehre: Satz von Young

Rechenregeln für Mengenoperationen: Assoziativgesetze · Distributivgesetze · Differenzgesetze · Grundeigenschaften der Inklusion · De Morgansche Regeln für Mengen

Ordinalzahlen: Ordinalzahlen enthalten sich nicht selbst als Element · Elemente von Ordinalzahlen sind Ordinalzahlen · Durchschnitte von Ordinalzahlen sind Ordinalzahlen · Wohlordnung der Klasse aller Ordinalzahlen · Ordinalzahlen bilden eine echte Klasse · Der Nachfolger einer Ordinalzahl ist Ordinalzahl · Vereinigungen von Ordinalzahlen sind Ordinalzahlen · Limes- und Nachfolgerzahlen · Äquivalenz verschiedener Definitionen

Sätze die in ZF Äquivalent zum Auswahlaxiom sind: Alternative Darstellung des Auswahlaxioms · Wohlordnungssatz · Lemma von Zorn

Seien ${\displaystyle f:A\to B}$, ${\displaystyle g:B\to C}$ und ${\displaystyle h:C\to D}$ drei Funktionen. Dann gilt

${\displaystyle (h\circ g)\circ f=h\circ (g\circ f)}$.

Beweis

Zwei Funktionen sind genau dann gleich, wenn sie den gleichen Definitionsbereich haben und jedes Element dieses Definitionsbereiches auf dasselbe Element abbilden. Hier gilt

${\displaystyle \operatorname {Dom} ((h\circ g)\circ f)=A=\operatorname {Dom} (g\circ f)=\operatorname {Dom} (h\circ (g\circ f))}$.

Außerdem gilt für jedes ${\displaystyle x\in A}$

${\displaystyle (h\circ g)\circ f(x)=h\circ g(f(x))=h(g(f(x)))=h\circ (g\circ f(x))=h\circ (g\circ f)(x)}$.