Voraussetzung

${\displaystyle f\colon A\to B}$ sei eine Abbildung.

Behauptung

${\displaystyle f\ }$ ist surjektiv ${\displaystyle \Longleftrightarrow }$ ${\displaystyle f\ }$ ist rechtskürzbar.

(Dabei heißt ${\displaystyle f\ }$ rechtskürzbar, wenn für beliebige Abbildungen ${\displaystyle g,h\colon B\to C}$ aus ${\displaystyle g\circ f=h\circ f}$ schon ${\displaystyle g=h\ }$ folgt.)

Beweis

• ${\displaystyle \Rightarrow }$ : ${\displaystyle f\ }$ werde als surjektiv vorausgesetzt und ${\displaystyle g,h\colon B\to C}$ seien beliebige Abbildungen mit ${\displaystyle g\circ f=h\circ f}$. Wir müssen ${\displaystyle g=h\ }$ zeigen.
  Dazu sei ${\displaystyle b\in B}$ beliebig. Da ${\displaystyle f\ }$ surjektiv ist, gibt es (mindestens) ein Element ${\displaystyle a\in A}$ mit ${\displaystyle f(a)=b\ }$. Wegen ${\displaystyle g\circ f=h\circ f}$ gilt ${\displaystyle g(f(a))=h(f(a))\ }$, also ${\displaystyle g(b)=h(b)\ }$. Damit ist ${\displaystyle g=h\ }$ bewiesen.
• ${\displaystyle \Leftarrow }$ : ${\displaystyle f\ }$ werde als rechtskürzbar vorausgesetzt. Nun sei ein beliebiges Element ${\displaystyle b\in B}$ gegeben. Wir nehmen an, dass ${\displaystyle b\ }$ nicht in der Bildmenge von ${\displaystyle f\ }$ liegt und werden diese Annahme zum Widerspruch führen
  Dazu werden zwei Abbildungen ${\displaystyle g,h\colon B\to \{0,1\}}$ folgendermaßen definiert:
  ${\displaystyle g(x):=1\ }$,
  ${\displaystyle h(x):=1\ }$ für ${\displaystyle x\neq b}$ und ${\displaystyle h(b):=0\ }$.
  Da ${\displaystyle b\ }$ ja nicht im Bild von ${\displaystyle f\ }$ liegt, gilt ${\displaystyle g\circ f=h\circ f}$. Aus der Rechtskürzbarkeit von ${\displaystyle f\ }$ folgt ${\displaystyle g=h\ }$, was aber nicht stimmt. Also war die Annahme, dass ${\displaystyle b\ }$ nicht im Bild von ${\displaystyle f\ }$ liegt falsch, und ${\displaystyle f\ }$ ist als surjektiv nachgewiesen.