Beweisarchiv: Mengenlehre

Charakteristikum unendlicher Mengen

Injektivität Surjektivität Bijektivität: Faktoren · Komposition · Linksinverse · Linkskürzbarkeit · Rechtsinverse · Rechtskürzbarkeit

Verkettungen: Assoziativgesetz der Hintereinanderausführung

Mächtigkeiten (Kardinalzahlen): lineare Ordnung · Kardinalität und Bijektionen · Potenzmenge

Deskriptive Mengenlehre: Satz von Young

Rechenregeln für Mengenoperationen: Assoziativgesetze · Distributivgesetze · Differenzgesetze · Grundeigenschaften der Inklusion · De Morgansche Regeln für Mengen

Ordinalzahlen: Ordinalzahlen enthalten sich nicht selbst als Element · Elemente von Ordinalzahlen sind Ordinalzahlen · Durchschnitte von Ordinalzahlen sind Ordinalzahlen · Wohlordnung der Klasse aller Ordinalzahlen · Ordinalzahlen bilden eine echte Klasse · Der Nachfolger einer Ordinalzahl ist Ordinalzahl · Vereinigungen von Ordinalzahlen sind Ordinalzahlen · Limes- und Nachfolgerzahlen · Äquivalenz verschiedener Definitionen

Sätze die in ZF Äquivalent zum Auswahlaxiom sind: Alternative Darstellung des Auswahlaxioms · Wohlordnungssatz · Lemma von Zorn

Satz

Elemente von Ordinalzahlen sind ihrerseits Ordinalzahlen.

Beweis

Sei ${\displaystyle x}$ Ordinalzahl und ${\displaystyle y\in x}$. Sei ${\displaystyle u\in v\in y}$. Per Transitivität von ${\displaystyle x}$ folgt ${\displaystyle v\in x}$ und dann auch ${\displaystyle u\in x}$. Weder ${\displaystyle v}$ noch ${\displaystyle y}$ können das ${\displaystyle \in }$-minimale Element von ${\displaystyle \{u,v,y\}\subseteq x}$ sein, also folgt ${\displaystyle u\in y}$. Mithin ist ${\displaystyle y}$ transitiv. Da aus ${\displaystyle y\in x}$ per Transitivität ${\displaystyle y\subseteq x}$ folgt, ist ${\displaystyle y}$ als Teilmenge einer wohlgeordneten Menge wohlgeordnet. Insgesamt ist ${\displaystyle y}$ also eine Ordinalzahl.