Voraussetzung

${\displaystyle A,\ B}$ seien beliebige Mengen.

Behauptung

${\displaystyle A\cap B=A\setminus (A\setminus B)}$

Beweis

Es ist ${\displaystyle x\in A\setminus B}$ genau dann, wenn ${\displaystyle x\in A\land \neg (x\in B)}$, also gilt weiter ${\displaystyle x\in A\setminus (A\setminus B)}$ genau dann, wenn ${\displaystyle x\in A\land \neg (x\in A\land \neg (x\in B))}$. Es ist zu zeigen, dass dies äquivalent zu ${\displaystyle x\in A\land x\in B}$ ist. In der Tat gilt bereits im Rahmen der Aussagenlogik die Äquivalenz von ${\displaystyle p\land \neg (p\land \neg q)}$ und ${\displaystyle p\land q}$:

• Es gelte ${\displaystyle p\land q}$, insbesondere sowohl ${\displaystyle p}$ als auch ${\displaystyle q}$. Somit ist ${\displaystyle p\land \neg q}$ falsch und ${\displaystyle \neg (p\land \neg q)}$ sowie schließlich ${\displaystyle p\land \neg (p\land \neg q)}$ wahr.
• Es gelte ${\displaystyle p\land \neg (p\land \neg q)}$, insbesondere ${\displaystyle p}$ und ${\displaystyle \neg (p\land \neg q)}$. Letzteres ist nach De Morgan äquivalent zu ${\displaystyle \neg p\lor \neg \neg q}$. Wegen ${\displaystyle p}$ folgt ${\displaystyle \neg \neg q}$ bzw ${\displaystyle q}$ (doppelte Negation). Insgesamt ergibt sich also ${\displaystyle p\land q}$.