Beweisarchiv: Mengenlehre

Charakteristikum unendlicher Mengen

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Verkettungen: Assoziativgesetz der Hintereinanderausführung

Mächtigkeiten (Kardinalzahlen): lineare Ordnung · Kardinalität und Bijektionen · Potenzmenge

Deskriptive Mengenlehre: Satz von Young

Rechenregeln für Mengenoperationen: Assoziativgesetze · Distributivgesetze · Differenzgesetze · Grundeigenschaften der Inklusion · De Morgansche Regeln für Mengen

Ordinalzahlen: Ordinalzahlen enthalten sich nicht selbst als Element · Elemente von Ordinalzahlen sind Ordinalzahlen · Durchschnitte von Ordinalzahlen sind Ordinalzahlen · Wohlordnung der Klasse aller Ordinalzahlen · Ordinalzahlen bilden eine echte Klasse · Der Nachfolger einer Ordinalzahl ist Ordinalzahl · Vereinigungen von Ordinalzahlen sind Ordinalzahlen · Limes- und Nachfolgerzahlen · Äquivalenz verschiedener Definitionen

Sätze die in ZF Äquivalent zum Auswahlaxiom sind: Alternative Darstellung des Auswahlaxioms · Wohlordnungssatz · Lemma von Zorn

Satz

Ist ${\displaystyle A}$ eine Menge von Ordinalzahlen, so ist ${\displaystyle \bigcup A}$ eine Ordinalzahl.

Beweis

Verwendet wird

(1) Elemente von Ordinalzahlen sind Ordinalzahlen

(2) Wohlordnung der Klasse aller Ordinalzahlen

Sei ${\displaystyle A}$ eine Menge von Ordinalzahlen und ${\displaystyle u=\bigcup A}$. Aus ${\displaystyle x\in y\in u}$ folgt ${\displaystyle x\in y\in z}$ für eine Ordinalzahl ${\displaystyle z\in A}$. Dann ist auch ${\displaystyle x\in z}$, also auch ${\displaystyle x\in u}$. Mithin ist ${\displaystyle u}$ transitiv. Jedes Element von ${\displaystyle u}$ ist Element einer in ${\displaystyle A}$ liegenden Ordinalzahl und daher laut (1) wiederum eine Ordinalzahl. Als Menge von Ordinalzahlen ist ${\displaystyle u}$ laut (2) durch ${\displaystyle \in }$ wohlgeordnet. Folglich ist ${\displaystyle u}$ eine Ordinalzahl.