Beweisarchiv: Mengenlehre

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Satz

${\displaystyle {\mathfrak {G}}}$ sei die Menge aller ${\displaystyle G_{\delta }}$-Mengen Untermengen von ${\displaystyle \mathbb {R} }$,

${\displaystyle {\mathfrak {F}}}$ - die Menge der Funktionen:

${\displaystyle f:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} }$,

und ${\displaystyle N(f)\,}$ die Menge der Stetigkeitsstellen von ${\displaystyle f\in {\mathfrak {F}}}$. Es gilt

${\displaystyle \{N(f)\}_{f\in {\mathfrak {F}}}={\mathfrak {G}}}$.

Beweis

Zunächst werden wir die Inklusion ${\displaystyle \{N(f)\}_{f\in {\mathfrak {F}}}\subset {\mathfrak {G}}}$ zeigen.

Sei ${\displaystyle f\in {\mathfrak {F}}}$.

${\displaystyle \triangle _{k}(x)}$ sei für jedes ${\displaystyle x\in N(f)}$ eine solche Umgebung von ${\displaystyle x,\,}$ so dass ${\displaystyle \forall \xi \left(\xi \in \triangle _{k}(x)\Rightarrow |f(\xi )-f(x)|<{\frac {1}{2k}}\right),}$

Die Mengen ${\displaystyle G_{k}}$ und ${\displaystyle G}$ seien wie folgt definiert

${\displaystyle G_{k}=\bigcup _{x\in N(f)}\triangle _{k}(x)}$

und

${\displaystyle G=\bigcap _{k=1}^{\infty }G_{k}.}$

${\displaystyle \triangle _{k}(x)}$ sind offene Mengen, folglich die Mengen ${\displaystyle \{G_{k}\}}$ auch und ${\displaystyle G}$ ist borelsche ${\displaystyle G_{\delta }}$-Menge. Wir werden zeigen, dass ${\displaystyle N(f)=G\,}$.

Aus

${\displaystyle \forall x\forall k(x\in N(f)\Rightarrow x\in \triangle _{k}(x))\Rightarrow \forall x\forall k\left(x\in N(f)\Rightarrow x\in G_{k}\right)\Rightarrow \forall x\ (x\in N(f)\Rightarrow x\in G).}$

sieht man, dass

${\displaystyle N(f)\subset G.}$

In die andere Richtung:

Aus ${\displaystyle y\in G}$ folgt ${\displaystyle \forall k\ (y\in G_{k})}$ und

${\displaystyle \forall k\exists x_{k}(x_{k}\in N(f)\Rightarrow y\in \triangle _{k}(x_{k})).}$

Man nehme an, dass ${\displaystyle y\notin N(f)}$. Dann ist ${\displaystyle y\neq x_{k}}$ für jedes ${\displaystyle k}$ und für jedes ${\displaystyle k}$ existiert eine solche Umgebung ${\displaystyle \triangle _{k}^{\star }(y)}$ von ${\displaystyle y}$, so dass ${\displaystyle x_{k}\notin \triangle _{k}^{\star }(y)}$ und ${\displaystyle \triangle _{k}^{\star }(y)\subset \triangle _{k}(x_{k}).}$

Nach der Definition von ${\displaystyle \triangle _{k}(x)}$

${\displaystyle \forall k\forall \xi \left(\xi \in \triangle _{k}^{\star }(y)\Rightarrow |f(y)-f(\xi )|<{\frac {1}{k}}\right),}$

also ist ${\displaystyle y\in N(f).}$

Damit haben wir ${\displaystyle N(f)\in {\mathfrak {G}}}$ und ${\displaystyle \{N(f)\}_{f\in {\mathfrak {F}}}\subset {\mathfrak {G}}}$ bewiesen. Es bleibt noch ${\displaystyle \{N(f)\}_{f\in {\mathfrak {F}}}\supset {\mathfrak {G}}}$ zu zeigen.

Sei

${\displaystyle G\in {\mathfrak {G}}}$

und

${\displaystyle G=\bigcap _{n=1}^{\infty }{G_{n}},}$

sei die Darstellung von ${\displaystyle G}$ als Durchschnitt der offenen Mengen ${\displaystyle \{G_{n}\}_{n=1,2,...},}$. Sei ausserdem ${\displaystyle H_{1}=G_{1}\,}$ und ${\displaystyle H_{i}=H_{i-1}\cap G_{i}.}$

Es ist leicht ersichtlich, dass

${\displaystyle H_{1}\supset H_{2}\supset \ldots \supset H_{n}\supset \ldots }$

genau so wie

${\displaystyle \bigcap _{n=1}^{m}G_{n}=\bigcap _{n=1}^{m}H_{n}}$

für jedes ${\displaystyle m}$, folglich

${\displaystyle G=\bigcap _{n=1}^{\infty }H_{n}}$.

Wir definieren die Funktionen ${\displaystyle f_{H}:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ für jede offene Menge ${\displaystyle H}$ sowie die Funktion ${\displaystyle s:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ wie folgt

${\displaystyle f_{H}(x)={\begin{cases}0,&x\in H\cup (\mathbb {R} \setminus ({\overline {H}}\cup \mathbb {Q} ))\\1,&x\in ({\overline {H}}\setminus H)\cup (\mathbb {Q} \cap (\mathbb {R} \setminus {\overline {H}}))\end{cases}}}$

und

${\displaystyle s(x)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {f_{H_{n}}(x)}{3^{n}}}.}$

Wir werden zeigen, dass ${\displaystyle N(s)=G\,}$, was auch bedeuten würde, dass ${\displaystyle G\in \{N(f)\}_{f\in {\mathfrak {F}}}}$.

Zuerst werden wir ${\displaystyle N(f_{H})=H\,}$ beweisen.

Falls ${\displaystyle x\in H}$, dann

${\displaystyle \exists \varepsilon (x)>0\ \triangle (x)=\{y:|y-x|<\varepsilon (x)\}\subset H.}$

Die Funktion ${\displaystyle f_{H}|_{\triangle (x)}\,}$ ist konstant und deshalb stetig. Also ist ${\displaystyle f_{H}\,}$ in ${\displaystyle x\,}$ stetig.

Falls

${\displaystyle x\in {\overline {H}}\setminus H,}$

dann gilt für jede ${\displaystyle \varepsilon >0}$

${\displaystyle H\cap \{y:|y-x|<\varepsilon \}\neq \emptyset }$

sowie

${\displaystyle \forall z((z\in H\cap \{y:|y-x|<\varepsilon \}\neq \emptyset )\Rightarrow (|f(x)-f(z)|=1)).}$

${\displaystyle f_{H}\,}$ ist daher in ${\displaystyle x\,}$ unstetig.

Falls

${\displaystyle x\in \mathbb {R} \setminus {\overline {H}},\,}$

dann

${\displaystyle \exists \varepsilon (x)>0\ \triangle (x)=\{y:|y-x|<\varepsilon (x)\}\subset \mathbb {R} \setminus {\overline {H}}.}$

Es gilt

${\displaystyle \triangle (x)\cap (\mathbb {Q} \cap (\mathbb {R} \setminus {\overline {H}}))\neq \emptyset }$

und

${\displaystyle \triangle (x)\cap (\mathbb {R} \setminus ({\overline {H}}\cup \mathbb {Q} ))\neq \emptyset }$

Also ist ${\displaystyle f_{H}\,}$ auch in diesem Fall in ${\displaystyle x\,}$ unstetig.

Jetzt werden wir uns die Funktion ${\displaystyle s(x)\,}$ genauer anschauen. Die Reihe

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {f_{H_{n}}(x)}{3^{n}}}\qquad (\#)}$

wird von der konvergenten Reihe

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{3^{n}}}}$

majoriert und ist daher gleichmäßig konvergent. Da ${\displaystyle \{f_{H_{n}}\}_{n}}$ in ${\displaystyle G\,}$ stetige Funktionen sind und weil (#) gleichmäßig stetig ist, muss ${\displaystyle s(x)\,}$ in ${\displaystyle G\,}$ auch stetig sein spricht ${\displaystyle N(s)\supset G.}$ Den Beweis werden wir abschliessen, in dem wir zeigen werden, dass ${\displaystyle s(x)\,}$ für jede ${\displaystyle x\in \mathbb {R} \setminus G}$ unstetig ist.

Sei ${\displaystyle x\notin G}$ und ${\displaystyle m=\min\{n:x\notin H_{n}\}.}$

Dann gilt

${\displaystyle s(x)=\sum _{n=m}^{\infty }{\frac {f_{H_{n}}(x)}{3^{n}}}.}$

Falls

${\displaystyle x\in \mathbb {R} \setminus {\overline {H_{m}}},}$

dann

${\displaystyle x\in \mathbb {R} \setminus {\overline {H_{n}}}}$ für jede ${\displaystyle n\geq m.}$

und daher

${\displaystyle \exists \delta \forall n(n\geq m\Rightarrow \triangle _{\delta }(x)\subset \mathbb {R} \setminus {\overline {H_{n}}}),}$

wobei ${\displaystyle \triangle _{\delta }(x)=\{y:|y-x|<\delta \}.}$

Für ${\displaystyle y\in \triangle _{\delta }(x)}$ ist

${\displaystyle s(y)={\begin{cases}0,&y\in \mathbb {R} \setminus \mathbb {Q} \\\sum _{n=m}^{\infty }{\frac {1}{3^{n}}}>0,&y\in \mathbb {Q} \end{cases}}}$

Es gilt also ${\displaystyle x\notin N(s)}$.

Falls

${\displaystyle x\in {\overline {H_{m}}}\setminus H_{m},}$

dann gilt

${\displaystyle \forall \delta >0\ \triangle _{\delta }(x)\cap H_{m}\neq \emptyset }$

und

${\displaystyle \forall y\left(y\in \triangle _{\delta }(x)\cap H_{m}\Rightarrow s(y)\leq \sum _{n=m+1}^{\infty }{\frac {1}{3^{n}}}<{\frac {1}{3^{m}}}\right)}$,

aber

${\displaystyle s(x)\geq {\frac {F_{H_{m}}(x)}{3^{m}}}={\frac {1}{3^{m}}}.}$

Auch in diesem Fall haben wir also

${\displaystyle x\notin N(s)}$

gezeigt.

${\displaystyle \Box }$

Wikipedia-Verweise

Satz von Young - Borelsche σ-Algebra