Beweisarchiv: Mengenlehre

Charakteristikum unendlicher Mengen

Injektivität Surjektivität Bijektivität: Faktoren · Komposition · Linksinverse · Linkskürzbarkeit · Rechtsinverse · Rechtskürzbarkeit

Verkettungen: Assoziativgesetz der Hintereinanderausführung

Mächtigkeiten (Kardinalzahlen): lineare Ordnung · Kardinalität und Bijektionen · Potenzmenge

Deskriptive Mengenlehre: Satz von Young

Rechenregeln für Mengenoperationen: Assoziativgesetze · Distributivgesetze · Differenzgesetze · Grundeigenschaften der Inklusion · De Morgansche Regeln für Mengen

Ordinalzahlen: Ordinalzahlen enthalten sich nicht selbst als Element · Elemente von Ordinalzahlen sind Ordinalzahlen · Durchschnitte von Ordinalzahlen sind Ordinalzahlen · Wohlordnung der Klasse aller Ordinalzahlen · Ordinalzahlen bilden eine echte Klasse · Der Nachfolger einer Ordinalzahl ist Ordinalzahl · Vereinigungen von Ordinalzahlen sind Ordinalzahlen · Limes- und Nachfolgerzahlen · Äquivalenz verschiedener Definitionen

Sätze die in ZF Äquivalent zum Auswahlaxiom sind: Alternative Darstellung des Auswahlaxioms · Wohlordnungssatz · Lemma von Zorn

Satz

Die Klasse ${\displaystyle \mathrm {On} }$ der Ordinalzahlen ist durch ${\displaystyle \in }$ wohlgeordnet.

Beweis

Verwendet wird

(1) Ordinalzahlen enthalten sich nicht selbst als Element

(2) Durchschnitte von Ordinalzahlen sind Ordinalzahlen

Zu zeigen ist:

1. Je zwei Ordinalzahlen sind vergleichbar, d.h. für Ordinalzahlen ${\displaystyle x,y}$ gilt entweder ${\displaystyle x\in y}$ oder ${\displaystyle x=y}$ oder ${\displaystyle x\ni y}$

   Seien ${\displaystyle x,y}$ zwei Ordinalzahlen. Falls ${\displaystyle x\in y}$ und ${\displaystyle y\in x}$, so wegen der Transitivität von ${\displaystyle x}$ auch ${\displaystyle x\in x}$ im Widerspruch zu (1). Falls ${\displaystyle x\in y}$ und ${\displaystyle x=y}$ bzw. ${\displaystyle y\in x}$ und ${\displaystyle x=y}$, folgt direkt ebenfalls ${\displaystyle x\in x}$, also derselbe Widerspruch. Somit können zumindest nicht mehrere der Eigenschaften ${\displaystyle x\in y}$, ${\displaystyle x=y}$, ${\displaystyle x\ni y}$ zugleich zutreffen.

   Falls ${\displaystyle x\neq y}$ folgt mit ${\displaystyle s:=x\cap y}$ aus (2), dass ${\displaystyle x=s\in y}$ oder ${\displaystyle y=s\in x}$. Somit ist die Trichotomiebedingung erfüllt.

2. Jede nichtleere Klasse ${\displaystyle A}$ von Ordinalzahlen enthält ein ${\displaystyle \in }$-minimales Element

   Da ${\displaystyle A}$ nicht leer ist, gibt es eine Ordinalzahl ${\displaystyle x\in A}$. Wenn es kein ${\displaystyle y\in A}$ mit ${\displaystyle y\in x}$ gibt, ist ${\displaystyle x}$ bereits minimal. Ansonsten ist die Menge ${\displaystyle s=\{y\in x\mid y\in A\}}$ eine nichtleere Teilmenge von ${\displaystyle x}$ und enthält folglich ein minimales Element ${\displaystyle m}$. Auch für jedes ${\displaystyle z\in A\setminus s}$ gilt ${\displaystyle m\in x\in z}$ oder ${\displaystyle m\in x=z}$, auf jeden Fall also ${\displaystyle m\in z}$. Insgesamt ist also ${\displaystyle m}$ auch minimales Element von ${\displaystyle A}$.