Vektorfeld/Lipschitz-stetig und Lipschitz-Bedingung/Aufgabe

Es sei ${}V$ ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum, ${}I\subseteq \mathbb {R}$ ein reelles Intervall, ${}U\subseteq V$ eine offene Menge und

f\colon I\times U\longrightarrow V,\,(t,v)\longmapsto f(t,v),

ein Vektorfeld auf ${}U$ . Zeige die folgenden Aussagen.

a) Wenn ${}f$ (als Abbildung) Lipschitz-stetig ist, so genügt das Vektorfeld einer Lipschitz-Bedingung.

b) Wenn das Vektorfeld einer Lipschitz-Bedingung genügt, so sind für jedes feste ${}t\in I$ die Abbildungen

U\longrightarrow V,\,v\longmapsto f(t,v),

Lipschitz-stetig.

c) Man gebe Beispiele, die zeigen, dass die Implikationen aus a) und b) nicht umkehrbar sind.

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