Es sei ${\displaystyle {}G}$ der von den Symbolen ${\displaystyle {}dX_{i}}$ erzeugte freie ${\displaystyle {}R}$-Modul. Die Abbildung

${\displaystyle \varphi \colon G\longrightarrow \Omega _{A{|}R},}$

die das Basiselement ${\displaystyle {}dX_{i}}$ auf das Differential ${\displaystyle {}dX_{i}}$ schickt, ist nach Fakt  (3) surjektiv. Die ${\displaystyle {}i}$-te partielle Ableitung

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial X_{i}}}\colon A\longrightarrow A,\,F\longmapsto {\frac {\partial F}{\partial X_{i}}},}$

ist eine ${\displaystyle {}R}$-Derivation, so dass es aufgrund der universellen Eigenschaft des Moduls der Differentialformen eine ${\displaystyle {}A}$-lineare Abbildung

${\displaystyle p_{i}\colon \Omega _{A{|}R}\longrightarrow A}$

mit ${\displaystyle {}p_{i}\circ d={\frac {\partial }{\partial X_{i}}}}$ gibt. Dabei ist ${\displaystyle {}p_{i}(dX_{i})=1}$ und ${\displaystyle {}p_{i}(dX_{j})=0}$ für ${\displaystyle {}j\neq i}$. Diese Abbildungen ergeben zusammen eine ${\displaystyle {}A}$-lineare Abbildung

${\displaystyle p=p_{1}\times \cdots \times p_{n}\colon \Omega _{A{|}R}\longrightarrow A^{n}\cong G,}$

für die ${\displaystyle {}p\circ \varphi =\operatorname {Id} _{G}}$ gilt. Daher ist ${\displaystyle {}\varphi }$ auch injektiv.